et que est (hypothèse), il est clair que sera à plus forte raison (abstraction faite du signe) ; donc la quantité sera toujours de signe différent de c’est-à-dire de puisque est positif ; donc et seront nécessairement de signes différents.
Cela posé, on aura, en substituant les valeurs ci-dessus de et
or, et étant de signes différents, aussi bien que et il est clair que et seront des quantités de mêmes signes ; donc, puisque et sont d’ailleurs des nombres entiers, il est visible que la valeur de sera toujours plus grande que et que c’est-à-dire, que les valeurs de et de abstraction faite des signes.
Mais il reste maintenant à savoir si, les nombres et étant donnés, on peut toujours trouver des nombres et moindres que ceux-là, et tels que les signes ambigus étant à volonté ; or cela suit évidemment de la Théorie des fractions continues ; mais on peut aussi le démontrer directement et indépendamment de cette Théorie. Car la difficulté se réduit à prouver qu’il existe nécessairement un nombre entier positif et moindre que lequel, étant pris pour rendra divisible par or supposons qu’on substitue successivement à la place de les nombres naturels jusqu’à et qu’on divise les nombres par on aura restes moindres que qui seront nécessairement tous différents les uns des autres ; car, si par exemple et ( et étant des nombres entiers différents qui ne surpassent pas ), étant divisés par donnaient un même reste, il est clair que leur différence devrait être divisible par or c’est ce qui ne se peut, à cause que est premier à et que est un nombre moindre que Donc, puisque tous les restes dont il s’agit sont des nombres entiers positifs moindres que et différents entre eux, et que ces restes sont au nombre de il est clair qu’il faudra nécessairement que le zéro se trouve parmi ces restes, et conséquemment
