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laquelle, étant développée et ordonnée par rapport à $z,$ montera au septième degré, et aura par conséquent toujours au moins une racine réelle.

12. Il ne sera pas difficile de résoudre par approximation l’équation que nous venons de trouver, et pour cela il vaudra encore mieux employer les deux équations

$t={\frac {m'+n'z}{z^{2}-l'}}\quad {\text{et}}\quad (\mathrm {P} 't+\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'z)^{2}={\frac {p't+q'+r'z}{t}}\,;$

on donnera successivement à $z$ différentes valeurs, et l’on calculera celles de $t$ et des deux quantités $\mathrm {P} 't+\mathrm {Q} '+\mathrm {R} 'z,\ {\frac {p't+q'+r'z}{t}}\,;$ si l’on trouve deux valeurs de $z,$ dont l’une rende la seconde de ces quantités plus grande que le carré de la première, et dont l’autre la rende plus petite, on sera assuré que la vraie valeur de $z$ tombe entre ces deux-là, et l’on pourra ensuite, par d’autres substitutions, approcher davantage de cette valeur. Si l’on ne pouvait pas rencontrer deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires, il n’y aurait alors qu’à opérer suivant les règles que j’ai données dans mon Mémoire sur la résolution des équations numériques (Mémoires de 1767), et par lesquelles on est toujours sûr de découvrir et de déterminer aussi exactement que l’on veut toutes les racines réelles d’une équation quelconque.

Ayant trouvé une valeur convenable de $z,$ on aura celles de $t$ et de $u,$ ensuite celles de $x={\frac {t}{u}}$ et de $y={\frac {1}{u}},$ enfin celles de $\alpha$ et $\beta ,$ qui feront connaître d’abord la position de l’orbite (3), et l’on connaîtra aussi en même temps la valeur du paramètre $\varpi$ au moyen de l’équation

${\sqrt {\frac {\varpi }{\left(1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)\Pi }}}={\frac {x}{y^{2}}}=tu.$

13. Connaissant $\alpha$ et $\beta$ on connaîtra, si l’on veut, la distance $\delta$ de la comète à la Terre, ainsi que les coordonnées $x,y,z$ du lieu de la co-