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mète dans son orbite, pour chacune des six observations, au moyen des formules du n^o 4 ; on connaîtra donc aussi le rayon vecteur de la comète, que je désignerai par $v,$ et qui est $={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$

Or l’équation d’une section conique quelconque rapportée au foyer est

$\varpi -v=\mu x+\nu y,$

dans laquelle $\varpi$ est le demi-paramètre, et $\mu ,\nu$ sont deux constantes telles que, si l’on nomme $\varepsilon$ l’excentricité et $\omega$ l’anomalie qui répond au nœud ascendant, c’est-à-dire la distance du nœud au périhélie de l’orbite, on a

${\begin{aligned}\mu =&\varepsilon \left(\cos \gamma \cos \omega +{\frac {\sin \gamma \sin \omega }{\cos \eta }}\right),\\\nu =&\varepsilon \left(\sin \gamma \,\cos \omega -{\frac {\cos \gamma \sin \omega }{\cos \eta }}\right).\end{aligned}}$

Je ne donne point la démonstration de ces formules, parce qu’elle me mènerait trop loin, et qu’il n’est pas d’ailleurs difficile de la trouver, d’après les propriétés connues des sections coniques.

Substituant donc dans l’équation $\varpi -v=\mu x+\nu y$ les valeurs de $x,y$ et $v,$ qui répondent à deux observations quelconques, comme à la première et à la dernière, pour les prendre le plus éloignées qu’il est possible, on aura deux équations, au moyen desquelles on déterminera sur-le-champ les valeurs de $\mu$ et de $\nu$, puisque celle de $\varpi$ est déjà connue.

Ayant les valeurs de $\mu$ et de $\nu ,$ on connaîtra l’angle $\omega$ par l’équation

${\frac {\cos \gamma \cos \eta +\sin \gamma \operatorname {tang} \omega }{\sin \gamma \cos \eta -\cos \gamma \operatorname {tang} \omega }}={\frac {\mu }{\nu }},$

et l’excentricité $\varepsilon$ par l’équation

$\varepsilon ={\frac {\sqrt {\mu ^{2}+\nu ^{2}}}{\sqrt {\mathrm {s{\acute {e}}c} ^{2}\eta -\operatorname {tang} ^{2}\eta \cos ^{2}\omega }}},$

les angles $\eta$ et $\gamma$ étant connus par le mayen des quantités $\alpha$ et $\beta$ (3).