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Si l’orbite est parabolique, ou à très-peu près, la valeur de $\varepsilon$ sera exactement, ou à très-peu près, égale à l’unité ; sinon on aura

$\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {\varpi }{\lambda }}}},$

$\lambda$ étant la distance moyenne ou le demi-grand axe de l’orbite.

Enfin, $\gamma$ étant la longitude du nœud ascendant, et $\omega$ la distance du nœud au périhélie, on aura $\gamma -\omega$ pour la longitude du périhélie.

14. Maintenant, si l’on nomme $\theta$ le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé entre le passage de la comète par le périhélie et une quelconque des observations, dans laquelle le rayon vecteur de la comète soit $=v,$ on aura, en prenant la distance moyenne du Soleil pour l’unité, et faisant, pour abréger,

$\cos \varphi ={\frac {1-{\cfrac {v}{\lambda }}}{\varepsilon }},$

on aura, dis-je, par les formules connues,

$\theta =(\varphi -\varepsilon \sin \varphi ){\sqrt {\lambda ^{3}}},$

où $\varphi$ sera en même temps ce qu’on nomme, d’après Kepler, l’anomalie excentrique.

Et lorsque le demi-grand axe $\lambda$ sera fort grand, ainsi que cela a lieu dans l’orbite des comètes, on aura, par les séries,

$\theta ={\frac {\varpi }{1+\varepsilon }}\psi +{\frac {1}{6}}\psi ^{3}+{\frac {3}{20\lambda }}\psi ^{5}+{\frac {5}{112\lambda }}\psi ^{7}+\ldots ,$

en faisant

$\psi ={\frac {\sqrt {2v-\varpi -{\cfrac {v^{2}}{\lambda }}}}{\varepsilon }}.$