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qu’il y ait un des nombres $q\pm 1,2q\pm 1,3q\pm 1,\ldots ,pq\pm 1$ qui soit divisible par $p\,;$ or il est clair que ce ne peut être le dernier ; ainsi il y aura sûrement une valeur de $r$ moindre que $p,$ laquelle rendra $rq\pm 1$ divisible par $p\,;$ et il est clair en même temps que le quotient sera moindre que $q\,;$ donc il y aura toujours une valeur entière et positive de $r$ moindre que $p,$ et une autre valeur pareille de $s$ et moindre que $q,$ lesquelles satisferont à l’équation

$s={\frac {qr\pm 1}{p}},\quad {\text{ou}}\quad ps-qr=\pm 1.$

24. On voit par là que les nombres $r$ et $s$ sont, parmi les nombres moindres que $p$ et $q,$ ceux qui rendent la formule $y-az$ le plus petite.

Nous dénoterons, pour plus de simplicité, les nombres $r$ et $s$ par $p_{1}$ et $q_{1}\,;$ on aura ainsi la condition $pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$ et les quantités $p-aq,\ p_{1}-aq_{1}$ seront les deux minima consécutifs dans la série des valeurs de $y-az,$ en prenant pour $y$ et $z$ tous les nombres qui ne surpassent pas $p$ et $q$ ces minima seront de signes contraires, et le second immédiatement plus grand que le premier.

Il est clair qu’on peut trouver de même deux autres nombres $p_{2}$ et $q_{2}$ moindres que $p_{1}$ et $q_{1},$ et qui aient avec ceux-ci la même relation que $p_{1}$ et $q_{1}$ ont avec $p$ et $q.$ Ainsi, comme $p_{1}-aq_{1}$ est de signe contraire à $p-aq,$ il faudra faire

$p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1\,;$

et la quantité $p_{2}-aq_{2}$ sera de signe contraire à $p_{1}-aq_{1}$ et plus grande que celle-ci ; mais en même temps elle sera plus petite que toute autre valeur de $y-az,$ tant que $y$ et $z$ seront moindres que $p_{1}$ et $q_{1}.$ En continuant le même raisonnement, on trouvera encore des nombres $p_{3},q_{3}$ moindres que $p_{2},q_{2}$ tels que

$p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,$

et qui rendront la quantité $p_{3}-aq_{3}$ du signe contraire à $p_{2}-aq_{2}$ et plus grande que $p_{2}-aq_{2},$ mais moindre que si l’on prenait pour $p_{3}$ et $q_{3}$ d’autres nombres moindres que $p_{2}$ et $q_{2},$ et ainsi de suite.