qu’il y ait un des nombres
qui soit divisible par
or il est clair que ce ne peut être le dernier ; ainsi il y aura sûrement une valeur de
moindre que
laquelle rendra
divisible par
et il est clair en même temps que le quotient sera moindre que
donc il y aura toujours une valeur entière et positive de
moindre que
et une autre valeur pareille de
et moindre que
lesquelles satisferont à l’équation
![{\displaystyle s={\frac {qr\pm 1}{p}},\quad {\text{ou}}\quad ps-qr=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a1f2f8520fa7c2e282ce7cac3a7b702ae3b8a5)
24. On voit par là que les nombres
et
sont, parmi les nombres moindres que
et
ceux qui rendent la formule
le plus petite.
Nous dénoterons, pour plus de simplicité, les nombres
et
par
et
on aura ainsi la condition
et les quantités
seront les deux minima consécutifs dans la série des valeurs de
en prenant pour
et
tous les nombres qui ne surpassent pas
et
ces minima seront de signes contraires, et le second immédiatement plus grand que le premier.
Il est clair qu’on peut trouver de même deux autres nombres
et
moindres que
et
et qui aient avec ceux-ci la même relation que
et
ont avec
et
Ainsi, comme
est de signe contraire à
il faudra faire
![{\displaystyle p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844b0c34ca95fa5f83e8eb267331ba8e367ff9b3)
et la quantité
sera de signe contraire à
et plus grande que celle-ci ; mais en même temps elle sera plus petite que toute autre valeur de
tant que
et
seront moindres que
et
En continuant le même raisonnement, on trouvera encore des nombres
moindres que
tels que
![{\displaystyle p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616ca79842bfbbadb497040fbf5cb43803786e9d)
et qui rendront la quantité
du signe contraire à
et plus grande que
mais moindre que si l’on prenait pour
et
d’autres nombres moindres que
et
et ainsi de suite.