Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/492

PREMIÈRE SECTION.

méthode pour transformer certaines formules qui exigent des tables à double entrée en d’autres que l’on peut calculer au moyen de tables à simple entrée.

I.

Si l’on veut représenter par une Table la formule $\operatorname {tang} \varphi =a\operatorname {tang} \theta ,$ on aura, pour chaque valeur du coefficient $a,$ une Table à simple entrée, dont l’argument sera l’angle $\theta$ et la fonction cherchée l’angle $\varphi .$ Cette Table est pareille à celle que les Astronomes connaissent sous le nom de réduction à l’équateur ; car, en appelant $\theta$ la longitude d’un point de l’écliptique, et $\varphi$ l’ascension droite cherchée de ce point, on a, en désignant par $\omega$ l’obliquité de l’écliptique,

$\operatorname {tang} \varphi =\cos \omega \operatorname {tang} \theta .$

II.

Si l’on veut au contraire réduire en Table la formule

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +a\sin \psi }{\cos \theta +a\cos \psi }},$

on peut croire, au premier abord, qu’il n’est pas possible d’employer une autre Table qu’une Table à double entrée ; toutefois il suffit d’une Table à simple entrée, comme nous allons le démontrer géométriquement et analytiquement.

III.

Soit (fig. 1) la ligne $\mathrm {AB} =p,$ faisant avec la ligne $\mathrm {AE}$ l’angle $\mathrm {BAE} =\theta \,;$ menons par l’extrémité $\mathrm {B}$ de $\mathrm {AB}$ une ligne $\mathrm {BC} =q$ telle, que, en la prolongeant suffisamment, elle coupe la ligne $\mathrm {AE}$ sous un angle $\mathrm {BDE} =\psi \,;$ enfin menons la ligne $\mathrm {AC} ,$ et désignons par $\varphi$ l’angle $\mathrm {CAE} ,$ qu’il nous faut exprimer au moyen de $p,q,\theta$ et $\psi .$