On aura de cette manière deux suites de nombres entiers décroissants
tels que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&p\ \,q_{1}-q\ \,p_{1}=\pm 1,\\&p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,\\&p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6628f8149817cd3f95b20b9800b6b42daa22a7fc)
et qui donneront la suite des minima
![{\displaystyle p-aq,\quad p_{1}-aq_{1},\quad p_{2}-aq_{2},\quad p_{3}-aq_{3},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6b7d19aa237a97fb9f5d0ab1b01c03af3f5fe0)
de la formule
ces minima seront successivementde signes différents, et formeront une suite croissante, telle que chaque terme, comme
sera un minimum relativement aux valeurs de
et
moindres que
et ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
D’où il s’ensuit que les termes correspondants des deux séries ![{\displaystyle p,p_{1},p_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df554306ecd4019bc3b2b29f53291235f6f42a64)
ont des propriétés analogues, et résolvent tout le Problème proposé.
Il ne s’agit donc plus que de trouver les deux séries.
Pour cela, je remarque : 1o qu’en ajoutant ensemble les équations
![{\displaystyle pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,\quad p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5774a88cd503da0240044221e1b1989ae060df6e)
on a
![{\displaystyle (p-p_{2})q_{1}-(q-q_{2})p_{1}=0,\quad {\text{savoir}}\quad q_{1}(p-p_{2})=p_{1}(q-q_{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bc6b7dd98a1161f40a99029dc957c0d4f9d8a3)
donc, puisque cette équation doit subsister en nombres entiers, et que
sont premiers entre eux, en vertu de l’équation
il faudra que
soit divisible par
ainsi, nommant
le quotient de cette division, on aura
![{\displaystyle p-p_{2}=\mu p_{1},\quad {\text{et}}\quad p=\mu p_{1}+p_{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9c27d47f82e8d387aa119d8b4fb344521daaf8)
alors l’équation deviendra
![{\displaystyle \mu q_{1}=q-q_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d9fa1aa68129a227c82c2981387dcfe4744508)
ce qui donne de même
![{\displaystyle q=\mu q_{1}+q_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4f9257f7c07bb72295ff840a41644242b02831)