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XVIII.

Ces équations étant toutes semblables, je désignerai en général par $(m)(\varkappa )$ la valeur de l’angle $\zeta$ déterminée par l’équation

$\operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)={\frac {1-m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}}.$

Ainsi $(m)(x)$ exprimera une équation astronomique dont l’argument est $\varkappa ,$ et dont la valeur maximum est égale à l’arc dont le sinus est $m.$

Si l’on pose

${\sqrt {m}}=\operatorname {tang} {\frac {\mu }{2}},$

on aura

${\frac {1-m}{1+m}}=\cos \mu ,$

et l’équation précédente devient

$\operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)=\cos \mu \operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}}.$

Cette équation est pareille à celle par laquelle on opère la réduction des planètes à l’écliptique, ou de l’écliptique à l’équateur. En outre, on peut remarquer que l’on a

${\begin{array}{lll}(m)(-\varkappa )=-(m)(\varkappa ),&(-m)(\varkappa )=-(m)(180^{\circ }-\varkappa ),\\\left({\cfrac {1}{m}}\right)(\varkappa )=-(m)(\varkappa ),&\left(-{\cfrac {1}{m}}\right)(\varkappa )=(m)(180^{\circ }-\varkappa ).\end{array}}$

XIX.

Il suit de là que l’on a

$\theta '=(a)(\psi -\theta ),\quad \theta ''=(b)(\zeta -\theta ),\quad \ldots ,$

et que

${\begin{aligned}\varphi =\theta &+(a)(\psi -\theta )+(b)(\zeta -\theta )+(-ab)(\psi +\zeta -2\theta )\\&+(a^{2}b)(2\psi +\zeta -3\theta )+(ab^{2})(\psi +2\zeta -3\theta ).\end{aligned}}$