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$\beta \quad$l’excentricité de son orbite en parties de cette distance moyenne ;

$t\quad$son anomalie vraie ;

on aura de même

$\rho ={\frac {\mathrm {B} \left(1-\beta ^{2}\right)}{1-\beta \cos t}}\,;$

il faudra substituer ces valeurs dans la formule du numéro précédent.

Le numérateur et le dénominateur seront alors multipliés par $(1-\alpha \cos s)(1-\beta \cos t)\,;$ en transformant les produits de sinus et de cosinus en simples sinus et cosinus, on trouvera, après réduction, une expression pour $\operatorname {tang} \varphi$ dont le numérateur sera une somme de différents sinus multipliés par certains coefficients, et dont le dénominateur sera tout semblable, sauf que les sinus devront être remplacés par des cosinus. Si, parmi ces coefficients, il s’en trouve un qui soit beaucoup plus grand que les autres, on divisera tous les termes du numérateur et du dénominateur par ce coefficient, et l’on parviendra, pour tang, à une expression pareille à celle des n^os XVII et XIX ; on la traitera de la même façon.

XXIV.

C’est ce qui a lieu pour Jupiter et pour Saturne, leurs distances au Soleil étant, pour le premier, cinq fois au moins, pour le second, dix fois plus grandes que la distance de la Terre au Soleil. Aussi vais-je maintenant appliquer mes formules à la détermination des longitudes géocentriques de Jupiter et de Saturne, en poussant l’approximation jusqu’à $1$ minute de degré, ce qui suffit pour le calcul des Éphémérides. Cela nous permettra, d’après le n^o  XIV, de négliger, dans l’expression de $\operatorname {tang} \varphi ,$ tous les termes qui sont beaucoup plus petits que $\sin 1'$ ou que $0{,}0002909,$ ou, en nombre rond, que ${\frac {1}{3500}}.$