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XXV.

D’après cette supposition, je divise haut et bas l’expression de $\operatorname {tang} \varphi$ par $\rho \cos ^{2}{\frac {\omega }{2}},$ et j’obtiens

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +{\cfrac {r\sin \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\sin(-\theta )}{\cos \theta +{\cfrac {r\cos \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\cos(-\theta )}}\,;$

mais

${\frac {r}{\rho }}=\mathrm {\frac {A\left(1-\alpha ^{2}\right)}{B\left(1-\beta ^{2}\right)}} \times {\frac {1-\beta \cos t}{1-\alpha \cos s}}\,;$

or on a

$\alpha <{\frac {1}{50}},$

et, pour Jupiter,

$\mathrm {\frac {A}{B}} <{\frac {1}{5}},\quad \beta <{\frac {1}{20}}\,;$

pour Saturne,

$\mathrm {\frac {A}{B}} <{\frac {1}{9}},\quad \mathrm {B} <{\frac {1}{17}}\,;$

donc $\mathrm {\frac {A}{B}} \alpha \beta$ est plus petit que ${\frac {1}{5000}}$ pour Jupiter, et que ${\frac {1}{7050}}$ pour Saturne ; on pourra, par suite, négliger les termes plus petits que $\mathrm {\frac {A}{B}} \alpha ^{2},$ $\mathrm {\frac {A}{B}} \alpha ^{2}\beta ,\ldots .$

On peut donc mettre la valeur de ${\frac {r}{\rho }}$ sous la forme

$\mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {1-\alpha ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(1+\alpha \cos s-\beta \cos t).$

Si l’on pose, pour abréger,

$a=\mathrm {\frac {A\left(1-\alpha ^{2}\right)}{B\left(1-\beta ^{2}\right)\cos ^{2}{\frac {\omega }{2}}}} ,\quad b=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}},$