XXV.
D’après cette supposition, je divise haut et bas l’expression de
par
et j’obtiens
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sin \theta +{\cfrac {r\sin \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\sin(-\theta )}{\cos \theta +{\cfrac {r\cos \psi }{\rho \cos ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}}}+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\omega }{2}}\cos(-\theta )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae80bff59a4ee3e09514541633894cd2ee26473)
mais
![{\displaystyle {\frac {r}{\rho }}=\mathrm {\frac {A\left(1-\alpha ^{2}\right)}{B\left(1-\beta ^{2}\right)}} \times {\frac {1-\beta \cos t}{1-\alpha \cos s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af34d919283a0aae70c1360e642da278471d8cab)
or on a
![{\displaystyle \alpha <{\frac {1}{50}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3619cb476595ff6fc473250e4dd92335158d7465)
et, pour Jupiter,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A}{B}} <{\frac {1}{5}},\quad \beta <{\frac {1}{20}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8bd7150139e9815d13b1a0c8a08cd2e25e5341)
pour Saturne,
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A}{B}} <{\frac {1}{9}},\quad \mathrm {B} <{\frac {1}{17}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db2efb8a3b2b6c645f7cbe9f1b50b15ebad6575)
donc
est plus petit que
pour Jupiter, et que
pour Saturne ; on pourra, par suite, négliger les termes plus petits que
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A}{B}} \alpha ^{2}\beta ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f5a25f8792a9179e9048842ecb2aff2b60a662)
On peut donc mettre la valeur de
sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {\frac {A}{B}} {\frac {1-\alpha ^{2}}{1-\beta ^{2}}}(1+\alpha \cos s-\beta \cos t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297fc88ed617bf9a0dd0e4bcd459f2d4c0db55ff)
Si l’on pose, pour abréger,
![{\displaystyle a=\mathrm {\frac {A\left(1-\alpha ^{2}\right)}{B\left(1-\beta ^{2}\right)\cos ^{2}{\frac {\omega }{2}}}} ,\quad b=\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fb246e23cd14111328b47a36a245638991af78)