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On trouvera de la même manière, en ajoutant ensemble les deux équations

$p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1,p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,$

et faisant des raisonnements semblables,

$p_{1}=\mu _{1}p_{2}+p_{3},\quad q_{1}=\mu _{1}q_{2}+q_{3},$

$\mu _{1}$ étant un nombre entier, et ainsi de suite.

Donc la loi des deux séries dont il s’agit sera

${\begin{alignedat}{2}p\ \,&=\mu \ \,p_{1}+p_{2},&q\ \,&=\mu \ \,q_{1}+q_{2},\\p_{1}&=\mu _{1}p_{2}+p_{3},\qquad &q_{1}&=\mu _{1}q_{2}+q_{3},\\p_{2}&=\mu _{2}p_{3}+p_{4},&q_{2}&=\mu _{2}q_{3}+q_{4},\\p_{3}&=\mu _{3}p_{4}+p_{5},&q_{3}&=\mu _{3}q_{4}+q_{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ étant tous entiers positifs, et les nombres $p,p_{1},p_{2},$$p_{3},\ldots ,q,q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ formant deux séries continuellement décroissantes.

On voit par cette loi qu’il suffira de connaître les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ pour pouvoir trouver tous les termes des deux séries, lorsqu’on en connaîtra les deux derniers.

La substitution des valeurs précédentes donne

${\begin{aligned}p\ \,-aq\ \,&=\mu \ \,(p_{1}-aq_{1})+p_{2}-aq_{2},\\p_{1}-aq_{1}&=\mu _{1}(p_{2}-aq_{2})+p_{3}-aq_{3},\\p_{2}-aq_{2}&=\mu _{2}(p_{3}-aq_{3})+p_{4}-aq_{4},\\p_{3}-aq_{3}&=\mu _{3}(p_{4}-aq_{4})+p_{5}-aq_{5},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mu \ \,&={\frac {p-aq}{p_{1}-aq_{1}}}+{\frac {aq_{2}-p_{2}}{p_{1}-aq_{1}}},\\\mu _{1}&={\frac {p_{1}-aq_{1}}{p_{2}-aq_{2}}}+{\frac {aq_{3}-p_{3}}{p_{2}-aq_{2}}},\\\mu _{2}&={\frac {p_{2}-aq_{2}}{p_{3}-aq_{3}}}+{\frac {aq_{4}-p_{4}}{p_{3}-aq_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$