pour pouvoir remonter de là successivement à tous les autres termes, et connaître les deux séries entières.
Ce Problème est donc réduit maintenant à trouver les deux derniers termes de ces séries.
Pour cela je remarque que, par leur nature, elles doivent se terminer l’une etl’autre à zéro ; car les formules font voir que est le quotient et le reste de la division de par que est le quotient et le reste de la division de par et ainsi de suite, de manière que sont les restes que l’on trouve en cherchant le plus grand commun diviseur des deux nombres et qui sont supposés premiers entre eux ; par conséquent on doit nécessairement parvenir à un reste nul. On doit dire la même chose des nombres qui ne sont que les différents restes qui résulteraient de la recherche du commun diviseur de et
Supposons que la série se termine avant sa correspondante et soit, par exemple, donc l’équation
se réduira à
d’où, à cause que et ne peuvent être que des nombres entiers positifs, il suit que et ainsi les deux quantités deviendront et Mais nous avons vu que ces quantités doivent être des signes différents, et que, abstraction faite des signes, la seconde doit être plus grande que la première, ces quantités étant deux termes consécutifs de la série des minima ; donc il faudra que et par conséquent
Ainsi sera connu, parce que, devant être un nombre entier, il ne pourra être que le nombre entier qui tombera entre et
Donc, en général, dans le cas dont il s’agit, les deux derniers termes de la série seront et les correspondants de la série
