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$p_{1},p_{2},\ldots$ seront $\alpha ,1,$ en dénotant par $\alpha$ le nombre entier qui tombe entre $a$ et $a-1.$

Supposons maintenant que ce soit la série $p,p_{1},p_{2},\ldots$ qui se termine la première, et soit $p_{4}=0,$ par exemple ; alors l’équation

$p_{3}q_{4}-q_{3}p_{4}=\mp 1,$

devenant

$p_{3}q_{4}=\mp 1,$

donnera, par la raison que $p_{3}$ et $q_{4}$ doivent être entiers positifs, $p_{3}=1,$ $q_{4}=1\,;$ de sorte que les deux quantités $p_{3}-aq_{3},\ p_{4}-aq_{4},$ qui doivent être de signe contraire, et la seconde plus grande que la première, deviendront $1-aq_{3}-a\,;$ d’où il suit qu’il faudra que $1-aq_{3}>0$ et $<a\,;$ ce qui donne $q_{3}<{\frac {1}{a}}$ et $q_{3}+1>{\frac {1}{a}},$ et par conséquent

$q_{3}<{\frac {1}{a}}>{\frac {1}{a}}-1\,;$

c’est-à-dire que $q_{3}$ devra être le nombre entier qui tombera entre ${\frac {1}{a}}$ et ${\frac {1}{a}}-1.$

Donc, en général, dans ce second cas, les deux derniers termes de la sériep, $p,p_{1},p_{2},\ldots$ seront $1,0\,;$ et les correspondants dans la série $q,q_{1},q_{2},\ldots$ seront $\beta ,1,$ en dénotant par $\beta$ le nombre entier qui tombera entre ${\frac {1}{a}}$ et ${\frac {1}{a}}-1.$

On voit par là que le premier cas aura lieu lorsque a est un nombre plus grand que l’unité, et que le second aura lieu lorsque $a$ sera moindre que l’unité.

Connaissant ainsi les deux derniers termes correspondants des séries $p,p_{1},p_{2},\ldots ,q,q_{1},q_{2},\ldots ,$ on pourra, par les formules données plus haut, trouver successivement, en remontant, tous les termes de ces séries qui résolvent le Problème proposé.

25. Il est plus commode de considérer ces séries à rebours, en commençant par les derniers termes. Ainsi nous avons deux séries croissantes,