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qu’on en prenne successivement les différences premières, secondes, troisièmes, en les écrivant, pour plus de commodité, comme on le voit ici,

${\begin{aligned}\ldots ,&\,\quad \mathrm {\,_{3}A,\quad \,_{2}A,\quad {}_{1}\!A,\quad A,\quad A_{1},\quad A_{2},\quad A_{3}} ,\quad \ldots ,\\&\ \qquad \mathrm {\,_{3}B,\quad \,_{2}B,\quad {}_{1}\!B,\quad B_{1},\quad B_{2},\quad B_{3}} ,\\&\qquad \qquad \mathrm {\,_{2}C,\quad {}_{1}\!C,\quad C,\quad C_{1},\quad C_{2}} ,\\&\ \quad \qquad \qquad \mathrm {\,_{2}D,\quad {}_{1}\!D,\quad D_{1},\quad D_{2}} ,\\&\ \ \ \,\qquad \qquad \qquad \mathrm {{}_{1}\!E,\quad E,\quad E_{1}} ,\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {{}_{1}\!F,\quad F_{1},} ,\\&\ \,\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {G} ,\end{aligned}}$

en sorte que la seconde ligne horizontale soit celle des différences premières des termes de la première ligne ; que la troisième contienne les différences premières des termes de la seconde, et par conséquent les différences secondes de ceux de la première, et ainsi de suite, et qu’en général chaque terme d’une ligne quelconque horizontale soit la différence des deux termes de la ligne supérieure entre lesquels il est placé ; par exemple,

$\mathrm {{}_{1}\!B=A-{}_{1}\!A,\quad B_{1}=A_{1}-A,\quad \ldots ,\quad C=B_{1}-{}_{1}\!B} ,\quad \ldots .$

Qu’on suppose maintenant, pour plus de simplicité et d’uniformité,

$\mathrm {B={\frac {{}_{1}\!B+B_{1}}{2}},\quad D={\frac {{}_{1}\!D+D_{1}}{2}},\quad F={\frac {{}_{1}\!F+F_{1}}{2}}} ,\quad \ldots ,$

on aura en général

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{x}=&\mathrm {A} \\&+x\mathrm {B} +{\frac {x^{2}}{2}}\mathrm {C} +{\frac {2x\left(x^{2}-1\right)}{3.4}}\mathrm {D} +{\frac {x^{2}\left(x^{2}-1\right)}{2.3.4}}\mathrm {E} +{\frac {3x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)}{3.4.5.6}}\mathrm {F} \\&+{\frac {x^{2}\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)}{2.3.4.5.6}}\mathrm {G} +{\frac {4x\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}-9\right)}{2.4.5.6.7.8}}\mathrm {H} +\ldots .\end{aligned}}$

En faisant $x$ négatif on aura la valeur de ${}_{x}\!\mathrm {A} .$ (Voyez les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1758, où cette formule est démontrée et appliquée à quelques exemples).