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5. Les avantages de cette dernière formule sont :

1^o Que l’on peut trouver par une même opération les valeurs des deux termes $\mathrm {A} _{x}$ et ${}_{x}\!\mathrm {A}$ également distants de part et d’autre du terme du milieu $\mathrm {A} .$

Car en faisant $x$ négatif pour avoir la valeur de ${}_{1}\!\mathrm {A} ,$ il est clair que les termes de la formule qui occupent les places paires doivent demeurer les mêmes, puisque $x$ n’y est élevé qu’à des puissances paires ; au contraire, les termes qui occupent les places impaires changent simplement de signe, puisque chacun de ces termes est une fonction de $x^{2}$ multipliée par $x$.

De sorte que, si l’on fait séparément une somme des termes pairs et une somme des termes impairs, et qu’on nomme la première $\mathrm {P} ,$ la seconde $\mathrm {Q} ,$ on aura

$\mathrm {A} _{x}=\mathrm {P+Q} ,\quad {}_{x}\!\mathrm {A=P-Q} .$

2^o Que les termes affectés des puissances paires de $x$ sont séparés et indépendants de ceux qui contiennent les puissances impaires, la somme $\mathrm {P}$ étant composée uniquement des premiers et la somme $\mathrm {Q}$ uniquement des seconds, ce qui est plus analogue à la nature des fonctions que l’on a à interpoler dans l’Astronomie, ces fonctions étant ordinairement composées de sinus-et de cosinus dont les uns ne donnent que des puissances impaires de l’arc, les autres que des puissances paires.

3^o Si les termes de la suite des différences $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ vont en décroissant et deviennent enfin nuls, c’est une marque que la série proposée est algébrique. Alors la formule qui exprime le terme général $\mathrm {A} _{x},$ se trouve finie et exacte ; ainsi elle donnera rigoureusement la valeur d’un terme quelconque intermédiaire. Mais, si les termes de la suite dont il s’agit ne vont pas en diminuant, l’expression de $\mathrm {A} _{x}$ ne se terminera pas et ne sera pas même convergente ; elle sera donc fautive et ne pourra pas être employée pour trouver les termes intermédiaires. Cet inconvénient a également lieu dans la formule ordinaire d’interpolation que nous avons rapportée plus haut, et vient en général de ce qu’alors la série n’est pas algébrique, comme on le suppose.