Cette méthode est fondée sur la propriété générale des séries récurrentes dont nous avons parlé plus haut (no 8).
On prendra un nombre indéfini d’inconnues que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par et l’on formera les équations suivantes, dont la loi est assez évidente,
On divisera d’abord chacune de ces équations par le coefficient de la première inconnue ensuite on les soustraira successivement l’une de l’autre ; on aura de nouvelles équations de la même forme, mais qui ne contiendront plus l’inconnue On divisera de nouveau ces équations par les coefficients de la première inconnue et on les retranchera l’une de l’autre, ce qui produira de nouvelles équations où les deux inconnues ne se trouveront plus. On continuera ainsi tant qu’il y aura des équations et des inconnues.
Maintenant, si la loi des séries peut être représentée par deux termes, il faudra que, dans les équations ci-dessus, toutes les inconnues puissent être nulles, hors les deux premières
Par conséquent il faudra que, dans la seconde suite d’équations sans l’inconnue l’autre inconnue disparaisse d’elle-même, c’est-à-dire que les coefficients de cette inconnue soient nuls. Si cette condition a lieu, on prendra une quelconque des premières équations, on y fera et l’on déterminera par là la valeur de en supposant, pour plus de simplicité, Alors, nommant en général deux termes quelconques successifs de la série ou de l’autre série on aura cette relation constante
