di
saranno il secondo
![{\displaystyle x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee318d4841d8ce35a95eabb20490c64d4abbadf2)
ed il terzo
![{\displaystyle x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7d5bd261521eef256dcb0ffd4a2ce1a2b724a8)
i quali come sopra ridotti rendono l’uno
![{\displaystyle d^{2}x.y+2dx.dy+x.d^{2}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fa666daf7ddd665fd671b1850891ba241acab0)
e l’altro
![{\displaystyle d^{3}x.y+3d^{2}x.dy+3dx.d^{2}y+x.d^{2}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c10461733b132ab370eafb1aa16da58171c4a57)
veri differenzialidella quantità, proposta, se si pigli anche il
per fluente, e lo stesso s’ intenda de’ differenziali di qualunque siasi ulteriore grado.
E come queste operazioni di differenziare pér questa serie nulla più hanno di difficoltà, che quelle di elevare a potestà per la Newtoniana, cosi nulla più difficile si è l’integrare con quella di quel, che lo sia l’estrar le radici per mezzo di questa.
Debbasi per esempio, per aver la quadratura indefinita di qualsivoglia curva, ritrovar l’ integrale dell’ elemento dell’ area
Si supponga nel canone générale
sarà, per quel che di sopra s’ è detto,
i quali valori in esso sostituiti, avremo la serie particolare
![{\displaystyle dx^{-1}.y^{0}-dx^{-2}.y^{1}+dx^{-3}.y^{2}-dx^{-4}.y^{3}+dx^{-5}.y^{4}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f529eb112bb8effa2b1e439fb9c43a2e9743a9)
Ora
dinota l’ intégrale di
l’ intégral dell’ intégrale di
(cioè l’ intégrale di
), che io chiamo intégral secondo di
e segno in questa guisa
l’integral terzo di
cioè
ecc.
Ma
![{\displaystyle \int dx=x,\quad \sideset {^{2}\!\!\!}{}\int dx={\frac {x^{2}}{2dx}},\quad \sideset {^{3}\!\!\!}{}\int dx={\frac {x^{3}}{2.3dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4d671baefb4300652be32204cdb3e9193b7eaa)
e generalmente,
![{\displaystyle \sideset {^{m}\!\!\!}{}\int dx={\frac {x^{m}}{2.3.4.5\ldots mdx^{m-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9443d5d3bb90f7858aebbd68c0f962682c5607)