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tera ces trois quantités par $\upsilon ,\rho ,p,$ relativement à la tranche dont la distance à un plan fixe et perpendiculaire à l’axe est actuellement $z$ et était $x$ à l’origine du mouvement ; en sorte que $\upsilon ,\rho ,p,z$ soient des inconnues qu’il s’agira de détermineren fonctions de $x$ et $t.$

On a d’abord

$\upsilon ={\frac {dz}{dt}}.$

L’épaisseur de la tranche que l’on considère était $dx$ à l’origine du mouvement ; elle est devenue ${\frac {dz}{dx}}dx$ au bout du temps $t\,;$ son volume a changé dans le même rapport, et sa densité en raison inverse ; si donc on appelle $\mathrm {D}$ la densité de la poudre ou du gaz à l’origine, on aura

$\rho =\mathrm {D} \left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-1}.$

D’après la loi de Mariotte, on prend ordinairement la pression $p$ proportionnelle à $\rho \,;$ mais, pour plus de généralité, Lagrange la représente par une puissance $n$ de la densité ; d’où il résulte qu’on a

$p=k\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n},$

$k$ étant la force élastique du gaz à l’origine du mouvement, laquelle force est rapportée à l’unité de surface, et peut être exprimée par un poids $g\mathrm {D} h,$ en désignant par $g$ la gravité et par $h$ une ligne d’une très-grande longueur.

Il ne restera donc plus que l’inconnue $z$ à déterminer. Or, si l’on appelle $\mathrm {A}$ l’aire de la section intérieure du canon, perpendiculaire à son axe, la force motrice de la couche fluide qui répond à $z$ sera ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {DA} dx,$ puisque sa masse est $\mathrm {DA} dx$ comme à l’origine du mouvement ; d’ailleurs la pression qui la pousse dans le sens de $z$ étant $\mathrm {A} p,$ celle qui la pousse en sens contraire s’en déduira, abstraction faite du signe, en y mettant $x+dx$ à la place de $x,$ et sera conséquemment $\mathrm {A} \left(p+{\frac {dp}{dx}}dx\right)\,;$ on aura donc

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {DA} dx=\mathrm {A} p-\mathrm {A} \left(p+{\frac {dp}{dx}}dx\right),$

ou simplement

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {dp}{dx}}=0,$

pour l’équation d’où dépendra la valeur de $z.$ En substituant la valeur de $p$ et faisant, pour abréger,

${\frac {nk}{\mathrm {D} }}=ngh=a^{2},$

elle deviendra

(1)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}.$

Ces différentes équations sont indépendantes de l’état initial du fluide, et auront encore lieu lorsqu’à l’origine du mouvement ses différentes couches ont reçu des vitesses et éprouvé des déplacements quelconques ; en sorte que les valeurs de $z$ et ${\frac {dz}{dt}}$ qui répondent à $t=0$