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soient des fonctions quelconques de $x.$ On peut vérifier, en effet, qu’elles s’accordent avec les équations connues du mouvement dans une colonne d’air dont les couches ont des vitesses et éprouvent des variations de densité qui ne sont pas supposées très-petites. Dans le cas des déplacements très-petits, $z$ diffère très-peu de $x\,;$ et, en réduisant le facteur $\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{-n-1}$ à l’unité dans le second membre de l’équation (1), elle devient l’équation de la propagation du son dans un tuyau cylindrique.

2. Pour déterminer simultanément les mouvements du gaz, du boulet et du canon, il faudra joindre à l’équation (1) celles du mouvement de ces deux derniers corps. On supposera que l’action du gaz sur l’un et sur l’autre s’exerce dans une étendue égale à la section intérieure du canon, dont l’aire sera $\pi c^{2},$ en désignant par $c$ son rayon. Si donc on appelle $m$ la masse du boulet et $m'$ celle du canon, y compris l’affût qu’il entraîne avec lui ; si de plus on représente par $y$ et $\varpi ,y'$ et $\varpi '$ ce que deviennent $z$ et $p$ relativement aux deux couches extrêmes du gaz, les équations du mouvement du boulet et du canon seront

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\pi c^{2}\varpi ,\quad m'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=-\pi c^{2}\varpi '.$

Les valeurs de $\varpi$ et $\varpi '$ se déduiront de celle de $p$ du numéro précédent, en y mettant $y$ et $y'$ à la place de $z\,;$ et, en les substituant dans ces équations, nous aurons

(2)

$\left\{{\begin{aligned}m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\pi c^{2}k\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-n},\\m'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=&-\pi c^{2}k\left({\frac {dy'}{dx}}\right)^{-n}.\end{aligned}}\right.$

Je compterai les distances $x$ et $z$ à partir de la position initiale de la culasse ; alors $y$ et ${\frac {dy'}{dt}}$ se déduiront de $z$ et ${\frac {dz}{dt}},$ en y faisant $x=0\,;$ et, si l’on représente par $x$ la longueur de la charge, $y$ et ${\frac {dy}{dt}}$ se déduiront de $z$ et ${\frac {dz}{dt}},$ en y faisant $x=\alpha .$

On admet généralement qu’à l’origine du mouvement les vitesses du boulet et du canon sont nulles ou infiniment petites. C’est aussi ce que Lagrange suppose pour ces deux vitesses initiales et pour celle de la poudre réduite en gaz. Toutefois il ne serait pas impossible que, quand la masse entière du boulet commence à se mouvoir, son centre de gravité eût déjà reçu une vitesse de grandeur finie, et même une très-grande vitesse. En effet, quelque dure que soit la matière du boulet, la pression de la poudre commence d’abord par comprimer un tant soit peu sa partie postérieure ; une partie ad\sqrt{a}cette se comprime ensuite, puis une autre, et de proche en proche le mouvement parvient à la partie antérieure. Cette propagation du mouvement a lieu dans une très-petite fraction de seconde, que l’on peut évaluer à $5$ cent-millièmes, par exemple, en supposant la vitesse du son dans la matière du boulet sextuple de celle du son dans l’air, et prenant $1$ décimètre pour le calibre. Or, pendant cet intervalle de temps, le centre de gravité du projectile reçoit la même vitesse que si la pression y était immédiatement appliquée et que sa masse entière y fût concentrée ; par conséquent, lorsque cette masse enti\delta r e commencera à se déplacer, le centre du boulet aura déjà acquis une vitesse de grandeur finie. L’effet de la pression, pendant ce temps extrêmement court, est ce qu’on appelle un choc ou une percussion, c’est-à-dire une quantité de mouvement imprimée presque instantanément, et sans que le mobile se soit sensiblementdéplacé. La ques-