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En la substituant dans l’équation (1), et égalant ensuite les coefficients des mêmes puissances de $\mu$ dans les deux membres, on formera une série d’équations d’après lesquelles on pourra déterminer successivement les coefficients $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots ,$ au moyen les uns des autres, et du premier dont la valeur est $(y-y'){\frac {x}{\alpha }}+y'\,;$ mais ces équations seront très-compliquées, et, encore plus les valeurs de $\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots .$ Lagrange a aussi essayé de développer la valeur de $z$ en série ordonnée suivant les puissances de $x\,;$ mais ces différents développements ne l’ont conduit à aucun résultat satisfaisant. Il a ensuite reconnu qu’on peut satisfaire en même temps aux équations (1) et (2) par certaines valeurs de $z,y,y',$ qui ne dépendent que des quadratures : et, quoique cette solution ne remplisse pas non plus la condition $z=x$ quand $t=0,$ je crois cependant utile de la faire connaître.

6. Soit $\mathrm {X}$ une fonction inconnue de $x,$ et supposons qu’on puisse avoir exactement

$z=\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)\mathrm {X} +y'.$

Il faudra d’abord que $\mathrm {X}$ s’évanouisse avec $x,$ et qu’on ait $\mathrm {X} =\alpha$ quand $x=\alpha ,$ afin que les valeurs extrêmes de $z$ soient $y'$ et $y.$ Je désignerai par ${\text{ϐ'}}$ et ${\text{ϐ}}$ les valeurs de ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ qui répondent à $x=0$ et $x=\alpha ,$ et alors, après avoir substitué cette expression de $z$ dans les équations (1) et (2), on aura

(9)

$\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right){\frac {\mathrm {X} }{\alpha }}+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}={\frac {nk}{\mathrm {D} }}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)^{-n-1},\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ ={\frac {\pi c^{2}k}{m{\text{ϐ}}^{n}}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n},\\&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=-{\frac {\pi c^{2}k}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{-n}.\end{aligned}}\right.$

Au moyen de ces deux dernières équations et de $\mu =\pi c^{2}\alpha \mathrm {D} ,$ la première devient

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}\mathrm {X} +{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}(\mathrm {X} -\alpha )={\frac {n\alpha ^{2}}{\mu }}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)^{-n-1},$

et, comme elle ne renferme plus que $\mathrm {X}$ et $x,$ il s’ensuit déjà la possibilité de la forme de $z$ qu’on a supposée.

Je multiplie cette équation par $2d\mathrm {X} ,$ et j’intègre de manière que les deux membres s’évanouissentpour $x=0,$ $\mathrm {X} =0,$ ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}={\text{ϐ}}'\,;$ il vient

(10)

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}\mathrm {X} ^{2}+{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}\mathrm {\left(X^{2}-2\alpha X\right)} ={\frac {2n\alpha ^{2}}{(1-n)\mu }}\left[\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)^{1-n}-{\text{ϐ}}'^{1-n}\right].$

En faisant $x=\alpha ,\ \mathrm {X} =\alpha ,\ {\frac {d\mathrm {\mathrm {X} } }{dx}}={\text{ϐ}},$ on aura

${\frac {1}{m{\text{ϐ}}^{n}}}-{\frac {1}{m'{\text{ϐ}}'^{n}}}={\frac {2n}{(1-n)\mu }}\left({\text{ϐ}}^{1-n}-{\text{ϐ}}'^{1-n}\right),$