En substituant cette valeur dans l’équation (7), je néglige et dans son second membre, où ces quantités se trouveraient divisées par qui est toujours très-grand ; par la même raison, je néglige aussi mais il faudra conserver parce que la différentiation relative à donne à cette quantité un facteur très-grand, qui fait disparaître le diviseur . En observant d’ailleurs que la valeur de satisfait déjà à l’équation (7), abstraction faite des termes dépendants de on trouve
Au lieu de si l’on prend une autre variable indépendante, il faudra remplacer par
et, si cette autre variable est , il suffira, au degré d’approximationoù nous nous arrêtons, de prendre pour sa valeur donnée par l’équation (6). On en déduit
ce qui change l’équation précédente en celle-ci
La valeur de qui s’en déduira devra en outre s’évanouir pour et puisque alors doit coïncider avec et or on remplit cette condition et l’on satisfait à cette équation en prenant
étant un nombre entier et positif, une constante indéterminée qui pourra dépendre de une fonction de et déterminée par l’équation
(11)
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et la caractéristique désignant une somme relative à qui s’étendra depuis jusqu’à À cause du coefficient indéterminé on pourra supposer que se réduit à l’unité quand d’ailleurs, à l’origine du mouvement, pour que soit zéro, il faudra que le soit aussi ; on déterminera donc les deux constantes arbitraires qui seront contenues dans l’intégrale complète de l’équation (11), de sorte qu’on ait simultanément