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En substituant cette valeur dans l’équation (7), je néglige ${\frac {du}{dx}}$ et ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}$ dans son second membre, où ces quantités se trouveraient divisées par $k,$ qui est toujours très-grand ; par la même raison, je néglige aussi ${\frac {d\omega }{dx}}\,;$ mais il faudra conserver ${\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}},$ parce que la différentiation relative à $t$ donne à cette quantité un facteur très-grand, qui fait disparaître le diviseur $k$. En observant d’ailleurs que la valeur de $z$ satisfait déjà à l’équation (7), abstraction faite des termes dépendants de $\omega ,$ on trouve

${\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {D} }{nk}}\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{n+1}{\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}.$

Au lieu de $t$ si l’on prend une autre variable indépendante, il faudra remplacer ${\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}$ par

${\frac {d^{2}\omega }{dt^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {d\omega d.dt^{2}}{dt^{4}}}.$

et, si cette autre variable est $\theta$, il suffira, au degré d’approximationoù nous nous arrêtons, de prendre pour $dt^{2}$ sa valeur donnée par l’équation (6). On en déduit

${\begin{aligned}&dt^{2}={\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}{\frac {d\theta ^{2}}{\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}},\\ad.&dt^{2}=-{\frac {(1-n)mm'\alpha ^{-n}}{2\pi c^{2}k(m+m')}}{\frac {\theta ^{-n}d\theta ^{3}}{\left(\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}\right)^{2}}},\end{aligned}}$

ce qui change l’équation précédente en celle-ci

${\frac {d^{2}\omega }{dx^{2}}}={\frac {2\mu (m+m')\theta ^{n+1}}{nmm'\alpha ^{2}}}\left({\frac {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}{1-n}}{\frac {d^{2}\omega }{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\theta ^{-n}{\frac {d\omega }{d\theta }}\right).$

La valeur de $\omega$ qui s’en déduira devra en outre s’évanouir pour $x=0$ et $x=\alpha ,$ puisque alors $z$ doit coïncider avec $y$ et $y'\,;$ or on remplit cette condition et l’on satisfait à cette équation en prenant

$\omega =\sum q_{i}\varphi _{i}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},$

$i$ étant un nombre entier et positif, $q_{i}$ une constante indéterminée qui pourra dépendre de $i,$ $\varphi _{i}$ une fonction de $\theta$ et $i$ déterminée par l’équation

(11)

${\frac {i^{2}\pi ^{2}}{\alpha ^{2}}}\varphi _{i}+{\frac {2\mu (m+m')\theta ^{n+1}}{nmm'\alpha ^{2}}}\left({\frac {\theta ^{1-n}-\alpha ^{1-n}}{1-n}}{\frac {d^{2}\varphi _{i}}{d\theta ^{2}}}+{\frac {1}{2}}\theta ^{-n}{\frac {d\varphi _{i}}{d\theta }}\right)=0,$

et la caractéristique $\sum$ désignant une somme relative à $i,$ qui s’étendra depuis $i=1$ jusqu’à $i=\infty .$ À cause du coefficient indéterminé $q_{i},$ on pourra supposer que $\varphi _{i}$ se réduit à l’unité quand $\theta =\alpha \,;$ d’ailleurs, à l’origine du mouvement, pour que ${\frac {dz}{dt}}$ soit zéro, il faudra que ${\frac {d\varphi _{i}}{d\theta }}$ le soit aussi ; on déterminera donc les deux constantes arbitraires qui seront contenues dans l’intégrale complète de l’équation (11), de sorte qu’on ait simultanément

$\theta =\alpha ,\quad \varphi _{i}=1,\quad {\frac {d\varphi _{i}}{d\theta }}=0\,;$