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de cette manière $\varphi _{i}$ sera une fonction entièrement déterminée de $i$ et $\theta ,$ et il ne restera plus qu’à trouver l’expression de $q_{i}.$

Or, la condition $z=x,$ quand $t=0$ ou $\theta =\alpha ,$ exige que la quantité $u+\omega$ soit alors égale à zéro ; d’où l’on conclut

(12)

$\sum q_{i}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }}={\frac {\mu (\alpha -x)x}{6n\alpha ^{2}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right),$

équation qui devra subsister pour toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=u,$ en y comprenant les deux extrêmes ; mais d’après une formule connue et due à Lagrange, on a pour toutes ces valeurs

$f(x)={\frac {2}{\alpha }}\sum \int _{0}^{\alpha }\left(\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }}\sin {\frac {i\pi x'}{\alpha }}\right)f(x')dx',$

$i$ étant un nombre entier et positif auquel répond la somme $\sum$ qui s’étend depuis $i=1$ jusqu’à $i=\infty ,$ comme précédemment, et $f(x)$ désignant une fonction quelconque de $x,$ pourvu qu’elle s’évanouisse aux deux limites $x=0$ et $x=\alpha .$ On peut donc prendre successivement

$f(x)=x\left(\alpha ^{2}-x^{2}\right),\quad f(x)=x\left(\alpha -x\right)(x-2\alpha )\,;$

et, comme on a

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\alpha }\left(\alpha ^{2}-x'^{2}\right)x'\sin {\frac {i\pi x'}{\alpha }}dx'=-{\frac {6\alpha ^{4}}{i^{3}\pi ^{3}}}\cos i\pi ,\\&\int _{0}^{\alpha }(\alpha -x')(x'-2\alpha )x'\sin {\frac {i\pi x'}{\alpha }}dx'=-{\frac {6\alpha ^{4}}{i^{3}\pi ^{3}}},\end{aligned}}$

il en résultera

${\begin{aligned}&x\left(\alpha ^{2}-x^{2}\right)=-12\sum {\frac {\alpha ^{3}}{i^{3}\pi ^{3}}}\cos i\pi \sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},\\&x(\alpha -x)(x-2\alpha )=-12\sum {\frac {\alpha ^{3}}{i^{3}\pi ^{3}}}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},\end{aligned}}$

valeurs que je substitue dans l’équation (12), et d’où je conclus, par la comparaison des termes semblables dans les deux membres,

$q_{i}=-{\frac {2\mu x}{n\pi ^{3}i^{3}}}\left({\frac {\cos i\pi }{m}}+{\frac {1}{m'}}\right).$

Il résulte de cette analyse qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {U} ={\frac {(y-y')(x-\alpha )}{6n\alpha ^{3}}}\left({\frac {x+\alpha }{m}}+{\frac {x-2\alpha }{m'}}\right)$

$-{\frac {2\alpha }{n\pi ^{3}}}\sum \left({\frac {\cos i\pi }{m}}+{\frac {1}{m'}}\right){\frac {\varphi _{i}}{i^{3}}}\sin {\frac {i\pi x}{\alpha }},$

la valeur rectifiée de $z$ qu’il s’agissait d’obtenir sera

$z=(y-y'){\frac {x}{2}}+y'+\mu \mathrm {U} .$

On la substituera dans les équations (3) et (4), et l’on négligera les termes dépendants du carré de $\mu .$ Si l’on représente toujours par $l$ la longueur de la pièce, par $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ les vitesses