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Remarque II.

30. Lorsque, parmi les racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il y en a de commensurables, alors il est clair que la quantité proposée deviendra nulle en faisant ${\frac {p}{q}}$ égal à une de ces racines ; de sorte que dans ce cas il n’y aura pas, à proprement parler, de minimum ; dans tous les autres cas il sera impossible que la quantité dont il s’agit devienne zéro, tant que $p$ et $q$ seront des nombres entiers ; or, comme les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont aussi des nombres entiers (hypothèse), cette quantité sera toujours égale à un nombre entier, et par conséquent elle ne pourra jamais être moindre que l’unité.

Donc, si l’on avait à résoudre en nombres entiers l’équation

$\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots +\mathrm {V} q^{m}=\pm 1,$

il faudrait chercher les valeurs de $p$ et $q$ par la méthode du Problème précédent, excepté dans les cas où l’équation

$\mathrm {A} x^{m}+\mathrm {B} x^{m-1}+\mathrm {C} x^{m-2}+\ldots +\mathrm {V} =0$

aurait des racines ou des diviseurs quelconques commensurables ; car alors il est visible que la quantité

$\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}q+\mathrm {C} p^{m-2}q^{2}+\ldots$

pourrait se décomposer en deux ou plusieurs quantités semblables de degrés moindres ; de sorte qu’il faudrait que chacune de ces formules partielles fût égale à l’unité en particulier, ce qui donnerait pour le moins deux équations qui serviraient à déterminer $p$ et $q.$

Nous avons déjà donné ailleurs [Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1768^[1]] une solution de ce dernier Problème ; mais celle que nous venons d’indiquer est beaucoup plus simple et plus directe, quoique toutes les deux dépendent de la même Théorie des fractions continues.

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 538 et 581.