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Problème III.

31. On demande les valeurs de $p$ et de $q$ qui rendront la quantité

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2}$

le plus petite qu’il est possible, dans l’hypothèse qu’on n’admette pour $p$ et $q$ que des nombres entiers.

Ce Problème n’est, comme l’on voit, qu’un cas particulier du précédent mais nous avons cru devoir le traiter en particulier, parce qu’il est susceptible d’une solution très-simple et très-élégante, et que d’ailleurs nous aurons dans la suite occasion d’en faire usage dans la résolution des équations du second degré à deux inconnues, en nombres entiers.

Suivant la méthode générale, il faudra donc commencer par chercher les racines de l’équation

$\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

lesquelles sont, comme l’on sait,

$\mathrm {\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2A}} .$

Or :

1^o Si $\mathrm {B^{2}-4AC}$ est égal à un nombre carré, les deux racines seront commensurables, et il n’y aura point de minimum proprement dit, parce que la quantité $\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2}$ pourra devenir nulle.

2^o Si $\mathrm {B^{2}-4AC}$ n’est pas carré, alors les deux racines seront irrationnelles ou imaginaires, suivant que $\mathrm {B^{2}-4AC}$ sera $>$ ou $<0,$ ce qui fait deux cas qu’il faut considérer séparément ; nous commencerons par le dernier, qui est le plus facile à résoudre.

Premier cas, lorsque $\mathrm {B^{2}-4AC} <0$.

32. Les deux racines étant, dans ce cas, imaginaires, on aura $\mathrm {\frac {-B}{2A}}$ pour la partie toute réelle de ces racines, laquelle devra par conséquent être prise pour $a.$ Ainsi il n’y aura qu’à réduire la fraction $\mathrm {\frac {-B}{2A}}$