Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/64

(en faisant abstraction du signe qu’elle peut avoir) en fraction continue par la méthode du n^o 4, et en déduire ensuite la série des fractions convergentes (n^o 10), laquelle sera nécessairement terminée ; cela fait, on essayera successivement pour $p$ les numérateurs de ces fractions, et pour $q$ les dénominateurs correspondants, en ayant soin de donner à $p$ et $q$ les mêmes signes ou des signes différents, suivant que $\mathrm {\frac {-B}{2A}}$ sera un nombre positif ou négatif. On trouvera de cette manière les valeurs de $p$ et $q,$ qui peuvent rendre la formule proposée un moindre.

Exemple.

Soit proposée, par exemple, la quantité

$49p^{2}-238pq+290q^{2}.$

On aura donc ici $\mathrm {A} =49,\ \mathrm {B} =-238,\ \mathrm {C} =290\,;$ donc

$\mathrm {B^{2}-4AC=-196,\quad {\frac {-B}{2A}}} ={\frac {238}{98}}={\frac {17}{7}}.$

Opérant donc sur cette fraction de la manière enseignée dans le n^o 4, on trouvera les quotients $2,2,3,$ à l’aide desquels on formera ces fractions (n^o 20)

${\begin{array}{rrrr}&2,&2,&3,\\{\cfrac {1}{0}},&{\cfrac {2}{1}},&{\cfrac {5}{2}},&{\cfrac {17}{7}}.\end{array}}$

De sorte que les nombres à essayer seront $1,2,5,17$ pour $p,$ et $0,1,2,7$ pour $q\,;$ or, désignant par $\mathrm {P}$ la quantité proposée, on trouvera

${\begin{array}{rrr}p&\qquad &q&\qquad &\mathrm {P} \\1&&0&&49\\2&&1&&10\\5&&2&&5\\17&&7&&49\end{array}}$

d’où l’on voit que la plus petite valeur de $\mathrm {P}$ est $5,$ laquelle résulte de ces suppositions $p=5$ et $q=2\,;$ ainsi l’on peut conclure en général que