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la formule proposée ne pourra jamais devenir plus petite que $5,$ tant que $p$ et $q$ seront des nombres entiers ; de sorte que le minimum aura lieu lorsque $p=5$ et $q=2.$

Second cas, lorsque $\mathrm {B^{2}-4AC} >0.$

33. Comme, dans le cas présent, l’équation

$\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0$

a deux racines réelles irrationnelles, il faudra les réduire l’une et l’autre en fractions continues. Cette opération peut se faire avec la plus grande facilité par une méthode particulière que nous avons exposée ailleurs, et que nous croyons devoir rappeler ici, d’autant qu’elle se déduit naturellement des formules du n^o 25, et qu’elle renferme d’ailleurs tous les principes nécessaires pour la solution complète et générale du Problème proposé.

Dénotons donc par $a$ la racine qu’on a dessein de convertir en fraction continue, et que nous supposerons toujours positive, et soit en même temps $b$ l’autre racine ; on aura, comme l’on sait,

$a+b=-\mathrm {\frac {B}{A}} ,\quad ab=\mathrm {\frac {C}{A}} \,;$

d’où

$a-b=\mathrm {\frac {\sqrt {B^{2}-4AC}}{A}} ,$

ou bien, en faisant, pour abréger, $\mathrm {B^{2}-4AC=E} ,$

$a-b=\mathrm {\frac {\sqrt {E}}{A}} ,$

où le radical $\mathrm {\sqrt {E}}$ peut être positif ou négatif : il sera positif lorsque la racine $a$ sera la plus grande des deux, et négatif lorsque cette racine sera la plus petite ; donc

$a=\mathrm {\frac {-B+{\sqrt {E}}}{2A}} ,\quad b=\mathrm {\frac {-B-{\sqrt {E}}}{2A}} .$