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Maintenant, si l’on conserve les mêmes dénominations du n^o 25, il n’y aura qu’à substituer à la place de $a$ la valeur précédente, et la difficulté ne consistera qu’à pouvoir déterminer facilement les valeurs entières approchées $\mu _{1},\mu _{2},$$\mu _{3},\ldots .$

Pour faciliter ces déterminations, je multiplie le haut et le bas des fractions ${\frac {p_{0}-aq_{0}}{aq_{1}-p_{1}}},\ {\frac {aq_{1}-p_{1}}{p_{2}-aq_{2}}},\ {\frac {p_{2}-aq_{2}}{aq_{3}-p_{3}}},\ldots$ respectivement par $\mathrm {A} (bq_{1}-p_{1}),$ $\mathrm {A} (p_{2}-bq_{2}),\ \mathrm {A} (bq_{3}-p_{3}),\ldots ,$ et, comme on a

${\begin{aligned}\mathrm {A} (p_{0}-aq_{0})(p_{0}-bq_{0})=&\mathrm {A} ,\\\mathrm {A} (q_{1}a-p_{1})(bq_{1}-p_{1})=&\mathrm {A} p_{1}^{2}-\mathrm {A} (a+b)p_{1}q_{1}+\mathrm {A} abq_{1}^{2}=\mathrm {A} p_{1}^{2}+\mathrm {B} p_{1}q_{1}+\mathrm {C} q_{1}^{2},\\\mathrm {A} (p_{2}-aq_{2})(p_{2}-bq_{2})=&\mathrm {A} p_{2}^{2}-\mathrm {A} (a+b)p_{2}q_{2}+\mathrm {A} abq_{2}^{2}=\mathrm {A} p_{2}^{2}+\mathrm {B} p_{2}q_{2}+\mathrm {C} q_{2}^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {A} (p_{0}-aq_{0})(bq_{1}-p_{1})=&-\mu \mathrm {A-{\frac {1}{2}}B-{\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}} ,\\\mathrm {A} (aq_{1}-p_{1})(p_{2}-bq_{2})=&-\mathrm {A} p_{1}p_{2}+\mathrm {A} ap_{2}q_{1}+\mathrm {A} bp_{1}q_{2}-\mathrm {A} abq_{1}q_{2}\\=&-\mathrm {A} p_{1}p_{2}-\mathrm {C} q_{1}q_{2}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{1}q_{2}+q_{1}p_{2})+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} }}(p_{2}q_{1}-q_{2}p_{1}),\\\mathrm {A} (p_{2}-aq_{2})(bq_{3}-p_{3})=&-\mathrm {A} p_{2}p_{3}+\mathrm {A} ap_{3}q_{2}+\mathrm {A} bp_{2}q_{3}-\mathrm {A} abq_{2}q_{3}\\=&-\mathrm {A} p_{2}p_{3}-\mathrm {C} q_{2}q_{3}-{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{2}q_{3}+q_{2}p_{3})+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {E} }}(p_{3}q_{2}-q_{3}p_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite, je fais, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{0}&=\mathrm {A} ,\\\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {A} p_{1}^{2}+\mathrm {B} p_{1}q_{1}+\mathrm {C} q_{1}^{2},\\\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {A} p_{2}^{2}+\mathrm {B} p_{2}q_{2}+\mathrm {C} q_{2}^{2},\\\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {A} p_{3}^{2}+\mathrm {B} p_{3}q_{3}+\mathrm {C} q_{3}^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {Q} _{0}&={\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,\\\mathrm {Q} _{1}&=\mathrm {A} \mu +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mathrm {A} p_{1}p_{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{1}q_{2}+q_{1}p_{2})+\mathrm {C} q_{1}q_{2},\\\mathrm {Q} _{3}&=\mathrm {A} p_{2}p_{3}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} (p_{2}q_{3}+q_{2}p_{3})+\mathrm {C} q_{2}q_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$