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fraction continue

$a=\mu +{\frac {1}{\mu _{1}+{\cfrac {1}{\mu _{2}+\ddots }}}},$

et, pour trouver le minimum de la formule

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2},$

il n’y aura qu’à calculer les nombres $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ et $q_{0},q_{1},q_{2},q_{3},\ldots$ (n^o 25), et les essayer ensuite à la place de $p$ et $q\,;$ mais on peut encore se dispenser de cette opération, en remarquant que les quantités $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots$ ne sont autre chose que les valeurs de la formule dont il s’agit, lorsqu’on y fait successivement $p=p_{0},\ p_{1},\ p_{2},\ldots$ et $q=q_{0},\ q_{1},\ q_{2},\ldots .$ Ainsi il n’y aura qu’à voir quel est le plus petit terme de la suite $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots ,$ qu’on aura calculée en même temps que la suite $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ et ce sera le minimum cherché ; on trouvera ensuite les valeurs correspondantes de $p$ et $q$ par les formules citées.

34. Maintenant je dis qu’en continuant la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots ,$ on doit nécessairement parvenir à deux termes consécutifs de signes différents, et qu’alors tous les termes suivants seront aussi deux à deux de différents signes. Car on a (numéro précédent)

$\mathrm {P_{0}=A} (p_{0}-aq_{0})(p_{0}-bq_{0}),\quad \mathrm {P_{1}=A} (p_{1}-aq_{1})(p_{1}-bq_{1}),\quad \ldots .$

Or, de ce qu’on a démontré dans le Problème I, il s’ensuit que les quantités $p_{0}-aq_{0},\ p_{1}-aq_{1},\ p_{2}-aq_{2},\ldots$ doivent être de signes alternatifs et aller toujours en diminuant ; donc : 1^o si $b$ est une quantité négative, les quantités $p_{0}-bq_{0},\ p_{1}-bq_{1},\ldots$ seront toutes positives ; par conséquent les nombres $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots$ seront tous de signes alternatifs ; 2^o si $b$ est une quantité positive, comme les quantités $p_{1}-aq_{1},\ p_{2}-aq_{2},\ldots ,$ et à plus forte raison les quantités ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}-a,\ {\frac {p_{2}}{q_{2}}}-a,\ldots ,$ forment une suite décroissante à l’infini, on arrivera nécessairement à une de ces dernières