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l’on suppose donnés deux termes correspondants de ces deux séries, dont le numéro soit plus grand que $3,$ on pourra remonter aux termes précédents jusqu’à $\mathrm {P} _{4}$ et $\mathrm {Q} _{5},$ et même jusqu’aux termes $\mathrm {P} _{3}$ et $\mathrm {Q} _{4},$ si la condition de $\mathrm {\frac {-P_{3}}{P_{4}}} =$ ou $<1$ a lieu ; en sorte que tous ces termes seront absolument déterminés par ceux qu’on a supposés donnés.

En effet, connaissant, par exemple, $\mathrm {P} _{6}$ et $\mathrm {Q} _{6},$ on connaîtra d’abord $\mathrm {P} _{5}$ par l’équation

$\mathrm {Q_{6}^{2}-P_{5}P_{6}={\frac {1}{4}}E} \,;$

ensuite, ayant $\mathrm {Q} _{6}$ et $\mathrm {P} _{5},$ on trouvera la valeur de $\mu _{5},$ à l’aide de laquelle on trouvera ensuite la valeur de $\mathrm {Q} _{5}$ par l’équation

$\mathrm {Q_{6}=\mu _{5}P_{5}+Q_{5}} \,;$

or l’équation

$\mathrm {Q_{5}^{2}-P_{4}P_{5}={\frac {1}{4}}E}$

donnera $\mathrm {P} _{4}\,;$ et, si l’on sait d’avance que $\mathrm {\frac {-P_{3}}{P_{4}}}$ doit être $=$ ou $<1,$ on trouvera $\mu _{4},$ après quoi on aura $\mathrm {Q} _{4}$ par l’équation

$\mathrm {Q_{5}=\mu _{4}P_{4}+Q_{4}} ,$

et ensuite $\mathrm {P} _{3}$ par celle-ci

$\mathrm {Q_{4}^{2}-P_{3}P_{4}={\frac {1}{4}}E} .$

De là il est facile de tirer cette conclusion générale, que, si $\mathrm {P} _{\lambda }$ et $\mathrm {P} _{\lambda +1}$ sont les premiers termes de la série $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,$ qui se trouvent consécutivement de différents signes, le terme $\mathrm {P} _{\lambda +1}$ et les suivants reviendront toujours après un certain nombre de termes intermédiaires, et qu’il en sera de même du terme $\mathrm {P} _{\lambda },$ si l’on a $\mathrm {\frac {\pm P_{\lambda }}{P_{\lambda +1}}} =$ ou $<1.$

Car imaginons, comme dans le n^o 34, que l’on ait trouvé $\mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi }}$ et $\mathrm {Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} ,$ et supposons que $\varpi$ soit $>\lambda ,$ c’est-à-dire $\varpi =\lambda +\nu \,;$ donc on pourra, d’un côté, remonter du terme $\mathrm {P} _{\varpi }$ au terme $\mathrm {P} _{\lambda +1}$ ou $\mathrm {P} _{\lambda },$ et de l’autre, du terme $\mathrm {P} _{\varpi +2\rho }$ au terme $\mathrm {P} _{\lambda +2\rho +1}$ ou $\mathrm {P} _{\lambda +2\rho }\,;$ et, comme les