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termes d’où l’on part, de part et d’autre, sont égaux, tous les dérivés seront aussi respectivement égaux, de sorte qu’on aura

$\mathrm {P} _{\lambda +2\rho +1}=\mathrm {P} _{\lambda +1},\quad {\text{ou même}}\quad \mathrm {P} _{\lambda +2\rho }=\mathrm {P} _{\lambda },$

si $\mathrm {\frac {\pm P_{\lambda }}{P_{\lambda +1}}} =$ ou $<1.$

Par là on pourra donc juger d’avance du commencement des périodes dans la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,$ et par conséquent aussi dans les deux autres séries $\mathrm {Q_{0},Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots ,$ et $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots \,;$ mais, quant à la longueur des périodes, cela dépend de la nature du nombre $\mathrm {E} ,$ et même uniquement de la valeur de ce nombre, comme je pourrais le démontrer, si je ne craignais que ce détail ne me menât trop loin.

Corollaire III.

37. Ce qu’on vient de démontrer dans le corollaire précédent peut servir encore à prouver ce beau Théorème :

Toute équation de la forme $p^{2}-\mathrm {K} q^{2}=1,$ où $\mathrm {K}$ est un nombre entier positif non carré, et $p$ et $q$ deux indéterminées, est toujours résoluble en nombres entiers.

Car, en comparant la formule $p^{2}-\mathrm {K} q^{2}$ avec la formule générale $\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2},$ on a $\mathrm {A=1,\ B=0,\ C=-K}$ donc (n^o 33)

$\mathrm {E=B^{2}-4AC=4K,\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}={\sqrt {K}}} .$

Donc $\mathrm {P} _{0}=1,\ \mathrm {Q} _{0}=0\,;$ donc

$\mathrm {\mu <{\sqrt {K}},\quad Q_{1}=\mu ,\quad {\text{et}}\quad P_{1}=\mu ^{2}-K} \,;$

d’où l’on voit : 1^o que $\mathrm {P} _{1}$ est négatif, et par conséquent de signe différent de $\mathrm {P} _{0}\,;$ 2^o que $\mathrm {P} _{1}$ est $=$ ou $>1,$ parce que $\mathrm {K}$ et $\mu$ sont des nombres entiers ; de sorte qu’on aura $\mathrm {\frac {P_{0}}{-P_{1}}} =$ ou $<1\,;$ donc on aura (numéro précédent)

$\lambda =0,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {P_{2\rho }=P_{0}} =1\,;$