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de sorte qu’en continuant la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots ,$ le terme $\mathrm {P} _{0}=1$ reviendra nécessairement après un certain intervalle de termes ; par conséquent on pourra toujours trouver une infinité de valeurs de $p$ et de $q$ qui rendent la formule $p^{2}-\mathrm {K} q^{2}$ égale à l’unité.

Corollaire IV.

38. On peut aussi démontrer cet autre Théorème :

Si l’équation $p^{2}-\mathrm {K} q^{2}=\pm \mathrm {H}$ est résoluble en nombres entiers, en supposant $\mathrm {K}$ un nombre positif non carré, et $\mathrm {H}$ un nombre positif et moindre que ${\sqrt {\mathrm {K} }},$ les nombres $p$ et $q$ doivent être tels que ${\frac {p}{q}}$ soit une des fractions principales convergentes vers la valeur de ${\sqrt {\mathrm {K} }}.$

Supposons que le signe supérieur doive avoir lieu, eu sorte que $p^{2}-\mathrm {K} q^{2}=\mathrm {H} \,;$ donc on aura

$p-q{\sqrt {\mathrm {K} }}={\frac {\mathrm {H} }{p+q{\sqrt {\mathrm {K} }}}},\quad {\frac {p}{q}}-{\sqrt {\mathrm {K} }}={\frac {\mathrm {H} }{q^{2}\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}\,;$

qu’on cherche deux nombres entiers positifs $r$ et $s$ moindres que $p$ et $q,$ et tels que $ps-qr=1,$ ce qui est toujours possible, comme on l’a démontré dans le n^o 23, et l’on aura

${\frac {p}{q}}-{\frac {r}{s}}={\frac {1}{qs}}\,;$

donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra

${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {K} }}={\frac {\mathrm {H} }{q^{2}\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}-{\frac {1}{qs}}\,;$

de sorte qu’on aura

${\begin{aligned}p-q{\sqrt {\mathrm {K} }}=&{\frac {\mathrm {H} }{q\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}},\\r-s{\sqrt {\mathrm {K} }}=&{\frac {1}{q}}\left[{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}-1\right].\end{aligned}}$