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Or, comme ${\frac {p}{q}}>{\sqrt {\mathrm {K} }}$ et $\mathrm {H} <{\sqrt {\mathrm {K} }},$ il est clair que ${\frac {\mathrm {H} }{{\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}}}$ sera $<{\frac {1}{2}}\,;$ donc $p-q\mathrm {K}$ sera $<{\frac {1}{2q}}\,;$ donc ${\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}$ sera à plus forte raison $<{\frac {1}{2}},$ puisque $s<q\,;$ de sorte que $r-s{\sqrt {\mathrm {K} }}$ sera une quantité négative, laquelle, prise positivement, sera $>{\frac {1}{2q}},$ à cause de $1-{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\cfrac {p}{q}}+{\sqrt {\mathrm {K} }}\right)}}>{\frac {1}{2}}.$

Ainsi, en faisant ${\sqrt {\mathrm {K} }}=a,$ on aura les deux quantités $p-aq$ et $r-as$ assujetties aux mêmes conditions que celles du n^o 23 ; on y pourra par conséquent appliquer la même analyse du n^o 24, et l’on en tirera des conclusions semblables ; donc, etc. (n^o 26). Si l’on avait $p^{2}-\mathrm {K} q^{2}=-\mathrm {H} ,$ alors il faudrait chercher les nombres $r$ et $s,$ tels que $ps-qr=-1,$ et l’on aurait ces deux équations

{\begin{aligned}q{\sqrt {\mathrm {K} }}-p=&{\frac {\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}},\\s{\sqrt {\mathrm {K} }}-r=&{\frac {1}{q}}\left[{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}}-1\right].\end{aligned}}

Comme $\mathrm {H} <{\sqrt {\mathrm {K} }}$ et $s<q,$ il est clair que ${\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}}$ sera $<1\,;$ de sorte que la quantité $s{\sqrt {\mathrm {K} }}-r$ sera négative ; or je dis que cette quantité, prise positivement, sera $>q{\sqrt {\mathrm {K} }}-p\,;$ pour cela il faut démontrer que

{\frac {1}{q}}\left[1-{\frac {s\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}}\right]>{\frac {\mathrm {H} }{q\left({\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}\right)}},

ou bien que

1>{\frac {\mathrm {H} \left(1+{\cfrac {s}{q}}\right)}{{\sqrt {\mathrm {K} }}+{\cfrac {p}{q}}}},\quad {\text{savoir}}\quad {\sqrt {\mathrm {K} }}+{\frac {p}{q}}>\mathrm {H} +{\frac {s\mathrm {H} }{q}}\,;