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mais $\mathrm {H} <{\sqrt {\mathrm {K} }}$ (hypothèse) ; donc il suffit de prouver que

${\frac {p}{q}}>{\frac {s{\sqrt {\mathrm {K} }}}{q}},\quad {\text{ou bien que}}\quad p>s{\sqrt {\mathrm {K} }}\,;$

c’est ce qui est évident, à cause que, la quantité $s{\sqrt {\mathrm {K} }}-r$ étant négative, il faut que $r>s{\sqrt {\mathrm {K} }},$ et à plus forte raison $p>s{\sqrt {\mathrm {K} }},$ puisque $p>r.$

Ainsi les deux quantités $p-q{\sqrt {\mathrm {K} }}$ et $r-s{\sqrt {\mathrm {K} }}$ seront de différents signes, et la seconde sera plus grande que la première, abstraction faite des signes, comme dans le cas précédent ; donc, etc.

Donc, lorsqu’on aura à résoudre en nombres entiers une équation-de la forme

$p^{2}-\mathrm {K} q^{2}=\pm \mathrm {H} ,$

où $\mathrm {H} <{\sqrt {\mathrm {K} }},$ il n’y aura qu’à suivre les mêmes procédés du n^o 33, en faisant $\mathrm {A} =1,\ \mathrm {B} =0$ et $\mathrm {C} =-\mathrm {K} \,;$ et, si dans la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,$ $\mathrm {P} _{\varpi +2\rho }$ on rencontre un terme $=\pm \mathrm {H} ,$ on aura la résolution cherchée ; sinon on sera assuré que l’équation proposée n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.

Remarque.

39. Nous n’avons considéré dans le n^o 33 qu’une des racines de l’équation

$\mathrm {A} x^{2}+\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

que nous avons supposée positive ; si cette équation a ses deux racines positives, il faudra les prendre successivement pour $a,$ et faire la même opération sur l’une que sur l’autre ; mais, si l’une des deux racines ou toutes deux étaient négatives, alors on les changerait d’abord en positives, en changeant seulement le signe de $\mathrm {B} ,$ et l’on opérerait comme ci-dessus ; mais ensuite il faudrait prendre les valeurs de $p$ et de $q$ avec des signes différents, c’est-à-dire l’une positivement et l’autre négativement (n^o 29).

Donc, en général, on donnera à la valeur de $\mathrm {B}$ le signe ambigu $\pm ,$ de