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même qu’à ${\sqrt {\mathrm {E} }},$ c’est-à-dire qu’on fera $\mathrm {Q} _{0}=\mp {\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,$ et qu’on mettra $\pm$ à la place de ${\sqrt {\mathrm {E} }},$ et il faudra prendre ces signes en sorte que la racine

$a=\mathrm {\frac {\mp {\frac {1}{2}}B\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {E}}}{A}}$

soit positive, ce qui pourra toujours se faire de deux manières différentes le signe supérieur de $\mathrm {B}$ indiquera une racine positive, auquel cas il faudra prendre $p$ et $q$ tous deux de mêmes signes ; au contraire, le signe inférieur de $\mathrm {B}$ indiquera une racine négative, auquel cas les valeurs de $p$ et $q$ devront être prises de signes différents.

Exemple.

40. On demande quels nombres entiers il faudrait prendre pour $p$ et $q,$ afin que la quantité

$9p^{2}-118pq+378q^{2}$

devînt le plus petite qu’il est possible.

Comparant cette quantité avec la formule générale du Problème III, on aura $\mathrm {A=9,\ B=-118,\ C=378} ,$ donc $\mathrm {B^{2}-4AC} =316\,:$ d’où l’on voit que ce cas se rapporte à celui du n^o 33. On fera donc $\mathrm {E} =316$ et ${\frac {1}{2}}\mathrm {E} ={\sqrt {79}},$ où l’on remarquera d’abord que ${\sqrt {79}}>8$ et $<9\,;$ de sorte que, dans les formules dont il ne s’agira que d’avoir la valeur entière approchée, on pourra prendre sur-le-champ, à la place du radical ${\sqrt {79}},$ le nombre $8$ ou $9,$ suivant que ce radical se trouvera ajouté ou retranché des autres nombres de la même formule.

Maintenant on donnera tant à $\mathrm {B}$ qu’à ${\sqrt {\mathrm {E} }}$ le signe ambigu $\pm 1,$ et l’on prendra ensuite ces signes tels que

$a={\frac {\pm 59\pm {\sqrt {79}}}{9}}$

soit une quantité positive (n^o 39) ; d’où l’on voit qu’il faut toujours prendre le signe supérieur pour le nombre $59,$ et que pour le radical