ou la différence de deux carrés-carrés puisse jamais être un carré[1] ; de la solution d’un grand nombre de Problèmes très-difficiles et de plusieurs beaux Théorèmes sur les nombres entiers, qu’il a laissés sans démonstration, mais dont la plupart ont été ensuite démontrés par Euler dans les Commentaires de Pétersbourg[2].
Cette branche de l’Analyse a été presque abandonnée dans ce siècle, et, si l’on en excepte Euler, je ne connais personne qui s’y soit appliqué ; mais les belles et nombreuses découvertes que ce grand géomètre y a faites nous ont bien dédommagés de l’espèce d’indifférence que les autres géomètres paraissent avoir eue jusqu’ici pour ces sortes de recherches. Les Commentaires de Pétèrsbourg sont pleins des travaux d’Euler dans ce genre, et l’Ouvrage qu’il vient de donner est un nouveau service qu’il rend aux amateurs de l’Analyse de Diophante. On n’en avait aucun où cette science fût traitée d’une manière méthodique, et qui renfermât et expliquât clairement les principales règles connues jusqu’ici pour la solution des Problèmes indéterminés. Le Traité précédent réunit ce double avantage ; mais, pour le rendre encore plus complet, j’ai cru devoir y faire plusieurs Additions dont je vais rendre compte en peu de mots.
La Théorie des fractions continues est une des plus utiles de l’Arithmétique, où elle sert à résoudre avec facilité des Problèmes qui, sans son secours, seraient presque intraitables ; mais elle est d’un plus grand usage encore dans la solution des Problèmes indéterminés, lorsqu’on ne demande que des nombres entiers. Cette raison m’a engagé à exposer cette Théorie avec toute l’étendue nécessaire pour la faire bien entendre ; comme elle manque dans les principaux Ouvrages d’Arithmétique et
- ↑ Cette méthode est détaillée dans le Chapitre XIII du Traité précédent ; on en trouve les principes dans la Remarque de Fermat, qui est après la Question XXVI du Livre VI de Diophante.
- ↑ Les Problèmes et les Théorèmes dont nous parlons sont répandus dans les Remarques de Fermat sur les Questions de Diophante, et dans ses Lettres imprimées dans les Opera mathematica,…, et dans le second volume des Œuvres de Wallis.
On trouvera aussi dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, pour les années 1770 et suivantes, les démonstrations de quelques Théorèmes de cet Auteur, qui n’avaient pas encore été démontrés.
