Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/82

2^o Prenons maintenant le radical ${\sqrt {79}}$ avec un signe négatif, et le calcul sera comme il suit

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {Q} _{0}=&-59,&\mathrm {P} _{0}=&9,&&&\mu \ \,<&{\frac {59-{\sqrt {79}}}{9}}&&=5,\\\mathrm {Q} _{1}=&9.5-59=-14,&\mathrm {P} _{1}=&{\frac {106-79}{9}}&&=13,&\mu _{1}<&{\frac {14+{\sqrt {79}}}{13}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{2}=&13.1-14=-1,&\mathrm {P} _{2}=&{\frac {1-79}{13}}&&=-6,&\mu _{2}<&{\frac {1-{\sqrt {79}}}{-6}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{3}=&-6.1-1=-7,&\mathrm {P} _{3}=&{\frac {49-79}{-6}}&&=5,&\mu _{3}<&{\frac {7+{\sqrt {79}}}{5}}&&=3,\\\mathrm {Q} _{4}=&5.3-7=8,&\mathrm {P} _{4}=&{\frac {64-79}{5}}&&=-3,&\mu _{4}<&{\frac {-8-{\sqrt {79}}}{-3}}&&=5,\\\mathrm {Q} _{5}=&-3.5+8=-7,&\mathrm {P} _{5}=&{\frac {49-79}{-3}}&&=10,&\mu _{5}<&{\frac {7+{\sqrt {79}}}{10}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{6}=&10.1-7=3,&\mathrm {P} _{6}=&{\frac {9-79}{10}}&&=-7,&\mu _{6}<&{\frac {-3-{\sqrt {79}}}{-7}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{7}=&-7.1+3=-4,\qquad &\mathrm {P} _{7}=&{\frac {16-79}{-7}}&&=9,\qquad &\mu _{7}<&{\frac {4+{\sqrt {79}}}{9}}&&=1,\\\mathrm {Q} _{8}=&9.1-4=5,&\mathrm {P} _{8}=&{\frac {25-79}{9}}&&=-6,&\mu _{8}<&{\frac {-5-{\sqrt {79}}}{-6}}&&=2,\\\mathrm {Q} _{9}=&-6.2+5=-7,&\mathrm {P} _{9}=&{\frac {49-79}{-6}}&&=5,&\mu _{9}<&{\frac {7+{\sqrt {79}}}{5}}&&=3,\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots &&\ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &&\ldots .\end{alignedat}}$

On peut s’arrêter ici, puisque l’on a trouvé $\mathrm {Q_{9}=Q_{3}}$ et $\mathrm {P_{0}=P_{3}} ,$ et que la différence des numéros $9$ et $3$ est paire ; car, en continuant les séries, on ne retrouverait plus que les mêmes termes qu’on a déjà trouvés.

Si l’on considère les valeurs des termes $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ trouvées dans les deux cas, on verra que le plus petit de ces termes est égal à $-3\,;$ dans le premier cas, c’est le terme $\mathrm {P} _{3}$ auquel répondent les valeurs $p_{3}$