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et $q_{3},$ et dans le second cas, c’est le terme $\mathrm {P} _{4}$ auquel répondent les valeurs $p_{4}$ et $q_{4}.$

D’où il s’ensuit que la plus petite valeur que puisse recevoir la quantité proposée est $-3\,;$ et, pour avoir les valeurs de $p$ et $q$ qui y répondent, on prendra dans le premier cas les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},$ savoir $7,1$ et $1,$ et l’on en formera les fractions principales convergentes ${\frac {7}{1}},\ {\frac {8}{1}},\ {\frac {15}{2}}\,;$ la troisième fraction sera donc ${\frac {p_{3}}{q_{3}}},$ en sorte que l’on aura $p_{3}=15$ et $q_{3}=2\,;$ c’est-à-dire que les valeurs cherchées seront $p=15$ et $q=2.$ Dans le second cas, on prendra les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},$ savoir $5,1,1,3,$ lesquels donneront ces fractions ${\frac {5}{1}},\ {\frac {6}{1}},\ {\frac {11}{2}},\ {\frac {39}{7}}\,;$ de sorte qu’on aura $p_{4}=39$ et $q_{4}=7\,;$ donc $p=39$ et $q=7.$

Les valeurs qu’on vient de trouver pour $p$ et $q$ dans le cas du minimum sont aussi les plus petites qu’il est possible ; mais on pourra, si l’on veut, en trouver successivement d’autres plus grandes ; car il est clair que le même terme $-3$ reviendra toujours au bout de chaque intervalle de six termes ; de sorte que, dans le premier cas, on aura $\mathrm {P_{3}=-3,\ P_{9}=-3,\ P_{15}} =-3,\ldots ,$ et dans le second, $\mathrm {P_{4}=-3,\ P_{10}=-3,\ P_{16}} =-3,\ldots .$ Donc dans le premier cas on aura, pour les valeurs satisfaisantes de $p$ et $q,$ celles-ci $p_{3},q_{3},p_{9},q_{9},p_{15},$$q_{15},\ldots ,$ et dans le second cas celles-ci $p_{4},q_{4},p_{10},q_{10},p_{16},q_{16},\ldots .$ Or les valeurs de $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ sont, dans le premier cas,

$7,\ 1,\ 1,\ 5,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 1,\ 5,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 1,\ 5,\ 3,\quad \ldots ,$

à l’infini, parce que $\mu _{7}=\mu _{1}$ et $\mu _{8}=\mu _{2},\ldots \,;$ ainsi il n’y aura qu’à former par la méthode du n^o 20 les fractions

${\begin{array}{ccccccccccc}7,&1,&1,&5,&3,&2,&1,&1,&1,&5,\\{\frac {7}{1}},&{\frac {8}{1}},&{\frac {15}{2}},&{\frac {83}{11}},&{\frac {264}{35}},&{\frac {611}{81}},&{\frac {875}{116}},&{\frac {1486}{197}},&{\frac {2361}{313}},&{\frac {13291}{1762}},&\ldots ,\end{array}}$

et l’on pourra prendre pour $p$ les numérateurs de la troisième, de la neuvième, etc., et pour $q$ les dénominateurs correspondants ; on aura donc $p=15,$$q=2,$ ou $p=2361,\ q=313,$ ou etc.