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Dans le second cas, les valeurs de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ seront

$5,\ 1,\ 1,\ 3,\ 5,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ \quad \ldots ,$

parce que $\mu _{9}=\mu _{3},\ \mu _{10}=\mu _{4},\ldots .$ On formera donc ces fractions-ci

${\begin{array}{cccccccccccc}5,&1,&1,&3,&5,&1,&1,&1,&2,&3,&5,&\ldots ,\\{\frac {5}{1}},&{\frac {6}{1}},&{\frac {11}{2}},&{\frac {39}{7}},&{\frac {206}{37}},&{\frac {245}{44}},&{\frac {451}{81}},&{\frac {696}{125}},&{\frac {1843}{331}},&{\frac {6225}{1118}},&{\frac {32968}{5921}},&\ldots ,\end{array}}$

et les fractions quatrième, dixième, etc., donneront les valeurs de $p$ et $q,$ lesquelles seront donc $p=39,\ q=7,$ ou $p=6225,\ q=1118,$ etc.

De cette manière on pourra donc trouver par ordre toutes les valeurs de $p$ et $q$ qui rendront la formule proposée $=-3,$ valeur qui est la plus petite qu’elle puisse recevoir. On pourrait même avoir une formule générale qui renfermât toutes ces valeurs de $p$ et de $q\,;$ on la trouvera, si l’on en est curieux, par la méthode que nous avons exposée ailleurs et dont nous avons parlé plus haut (n^o 35).

Nous venons de trouver que le minimum de la quantité proposée est $-3,$ et par conséquent négatif ; or on pourrait proposer de trouver la plus petite valeur positive que la même quantité puisse recevoir ; alors il n’y aurait qu’à examiner les séries $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ dans les deux cas, et l’ou verrait que le plus petit terme positif est $5$ dans les deux cas ; et, comme dans le premier cas c’est $\mathrm {P} _{4},$ et dans le second $\mathrm {P} _{3}$ qui est égal à $5,$ les valeurs de $p$ et de $q,$ qui donneront la plus petite valeur positive de la quantité proposée, seront $p_{4},q_{4},$ ou $p_{10},q_{10},$ ou etc. dans le premier cas, et $p_{3},q_{3},$ ou $p_{9},q_{9},$ ou etc. dans le second ; de sorte que l’on aura, par les fractions ci-dessus, $p=83,\ q=11,$ ou $p=13291,$$q=1762,\ldots ,$ ou $p=11,\ q=2,$ ou $p=1843,\ q=331,$ ou etc.

Au reste, on ne doit pas oublier de remarquer que les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ trouvés dans les deux cas ci-dessus, ne sont autre chose que les termes des fractions continues qui représentent les deux racines de l’équation

$9x^{2}-118x+378=0.$