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70. Il s’ensuit de là que la méthode d’approximation donnée dans le Chapitre III peut être généralisée en cette sorte :

Soit $x$ la racine cherchée ; on prendra d’abord pour $p$ la valeur entière approchée de $x,$ c’est-à-dire qu’on fera $p$ égal à l’un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de $x,$ et qu’on peut toujours trouver par la méthode du Chapitre I^er ; et l’on supposera ensuite

$x=p+{\frac {1}{y}},$

ce qui donnera une transformée en $y$ qui aura nécessairement une racine positive ou négative plus grande que l’unité ; on prendra de même pour $q$ la valeur entière approchée de $y,$ soit plus grande ou plus petite que $y,$ et l’on fera

$y=q+{\frac {1}{z}},$

et ainsi de suite.

Si l’équation en $x$ avait plusieurs racines, on ferait sur les transformées en $y,$ en $z,\ldots ,$ des remarques analogues à celles du n^o 19.

Ayant donc

$x=p+{\frac {1}{y}},\quad y=q+{\frac {1}{z}},\quad z=r+{\frac {1}{u}},\quad \ldots ,$

on aura

$x=p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

où les dénominateurs $q,r,\ldots$ pourront être positifs ou négatifs, comme nous l’avons supposé ci-dessus, et cette fraction pourra ensuite se réduire, si l’on veut, à une autre dont les dénominateurs soient tous positifs, et qui ne contiennent d’ailleurs que des signes $+$ (n^o 67).

L’avantage de la méthode que nous proposons ici consiste en ce qu’on est libre de prendre pour les nombres $p,q,r,\ldots$ les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les