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racines $x,y,z,\ldots ,$ ce qui pourra souvent donner lieu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.

Au reste, si l’on veut avoir la fraction continue la plus courte et par conséquent la plus convergente qu’il soit possible, il faudra prendre toujours les nombres $p,q,r,\ldots$ plus petits que les racines $x,y,z,\ldots$ tant que ces nombres seront différents de l’unité ;-mais, dès qu’on en trouvera un égal à l’unité, alors il faudra augmenter le précédent d’une unité, c’est-à-dire qu’on le prendra plus grand que la racine correspondante cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet (n^o 68).

71. Maintenant, si l’on fait, comme dans le n^o 23,

${\begin{alignedat}{2}\alpha =&p,&\alpha '=&1,\\\beta =&\alpha q+1,&\beta '=&\alpha 'q,\\\gamma =&\beta r+\alpha ,\qquad &\gamma '=&\beta 'r+\alpha ',\\\delta =&\gamma s+\beta ,&\delta '=&\gamma 's+\beta ',\\.\ldots &\ldots \ldots ,&..\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura, en ajoutant au commencement la fraction ${\frac {1}{0}},$ qui est plus grande que toute quantité donnée, les fractions

${\frac {1}{0}},\quad {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}},\quad \ldots ,$

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la valeur de $x$.

Et, pour pouvoir juger de la nature de ces fractions, nous remarquerons :

1^o Que l’on aura toujours

${\begin{aligned}\alpha 0\ -1\,\alpha '=&-1,\\\beta \alpha '-\alpha \beta '=&\quad \ 1,\\\gamma \,\beta '-\beta \gamma '=&-1,\\\delta \,\gamma '-\gamma \delta '=&\quad \ 1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$