Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/105

d’où l’on voit que les nombres $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots$ n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},\ldots$ seront déjà réduites à leurs moindres termes ;

2^o Que les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ et $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de $x$ est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de $x$ sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;

3^o Que l’on aura, à cause de $x=p+{\frac {1}{y}},\ y=q+{\frac {1}{z}},\ldots ,$

${\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

72. Donc, en général, si $\varpi ,\rho ,\sigma$ sont trois termes consécutifs quelconques de la série $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et $\varpi ',\rho ',\sigma '$ les termes correspondants de la série $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots ,$ en sorte que ${\frac {\varpi }{\varpi '}},\ {\frac {\rho }{\rho '}},\ {\frac {\sigma }{\sigma '}},\ \ldots$ soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de $x,$ on aura

$\rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,$

les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction ${\frac {1}{0}}\,;$ de plus, on aura (abstraction faite des signes)

$\rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;$

enfin, si l’on dénote par $t$ le terme correspondant dans la série $x,y,z,\ldots ,$ on aura rigoureusement

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.$

d’où l’on voit que les nombres $\alpha ,\alpha ',\beta ,\beta ',\ldots$ n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}},{\frac {\beta }{\beta '}},\ldots$ seront déjà réduites à leurs moindres termes ;

2^o Que les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ et $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de $x$ est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de $x$ sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;

3^o Que l’on aura, à cause de $x=p+{\frac {1}{y}},\ y=q+{\frac {1}{z}},\ldots ,$

${\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

72. Donc, en général, si $\varpi ,\rho ,\sigma$ sont trois termes consécutifs quelconques de la série $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et $\varpi ',\rho ',\sigma '$ les termes correspondants de la série $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots ,$ en sorte que ${\frac {\varpi }{\varpi '}},\ {\frac {\rho }{\rho '}},\ {\frac {\sigma }{\sigma '}},\ \ldots$ soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de $x,$ on aura

$\rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,$

les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction ${\frac {1}{0}}\,;$ de plus, on aura (abstraction faite des signes)

$\rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;$

enfin, si l’on dénote par $t$ le terme correspondant dans la série $x,y,z,\ldots ,$ on aura rigoureusement

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.$