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Et si $k$ est la valeur entière approchée de $t,$ soit plus grande ou plus petite que $t,$ on aura

$\sigma =\rho k+\varpi ,\quad \sigma '=\rho 'k+\varpi '.$

73. Cela posé, considérons la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}},$ et voyons combien elle diffère de la vraie valeur de $x\,;$ pour cela, nous aurons

$x-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho l+\varpi }{\rho 'l+\varpi '}}-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho '\varpi -\rho \varpi '}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}=\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},$

donc

$x={\frac {\rho }{\rho '}}\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}.$

Ainsi l’erreur sera

$\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}\,;$

or, si $\theta$ et $\theta +1$ sont les deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de $t,$ il est clair que la quantité $\rho 't+\varpi '$ tombera entre ces deux $\rho '\theta +\varpi '$ et $\rho '(\theta +1)+\varpi ',$ et qu’ainsi l’erreur de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sera renfermée entre ces deux limites

$\mp {\frac {1}{\rho '(\rho '\theta +\varpi ')}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\left[\rho '(\theta +1)+\varpi '\right]}}.$

Or on peut prendre $k=\theta$ ou $k=\theta +1\,;$ de sorte qu’on aura :

$\sigma '=\rho '\theta +\varpi '\quad {\text{ou}}\quad =\rho '(\theta +1)+\varpi ',$

d’où je conclus que si, pour distinguer les deux cas, on nomme $\sigma '$ le dénominateur de la fraction qui suit ${\frac {\rho }{\rho '}}$ lorsqu’on prend la valeur approchée de $t$ en défaut, et $\Sigma '$ le dénominateur de la même fraction lorsqu’on prend la valeur approchée de $t$ en excès, l’erreur de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sera nécessairement renfermée entre ces deux limites

$\mp {\frac {1}{\rho '\sigma '}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\Sigma '}}.$

D’où l’on voit que l’erreur ira toujours en diminuant d’une fraction