à l’autre, à cause que les dénominateurs ou vont nécessairement en augmentant. On voit aussi, à cause de et que l’erreur sera toujours moindre que c’est-à-dire que l’erreur de chaque fraction sera moindre que l’unité divisée parle carré du dénominateur de cette fraction. D’où il est facile de conclure que la fraction approchera plus de la valeur de que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples ; car supposons que la fraction approche plus de que la fraction étant et comme la valeur de est contenue entre et ou entre et il faudra que la valeur de soit pareillement contenue entre ces limites ; donc la différence entre et devra être mais cette différence est dont le numérateur ne peut jamais être moindre que l’unité, et dont le dénominateur sera nécessairement plus grand que à cause de donc, etc.
74. On doit remarquer au reste que, si les dénominateurs sont tous de même signe ou de signes alternatifs, les erreurs seront alternativement positives ou négatives, de sorte que les fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la véritable valeur de comme nous l’avons dit dans le no 23 ; mais cela cessera d’avoir lieu lorsque les nombres ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes différents ; c’est ce qui arrivera nécessairement lorsque, parmi les dénominateurs de la fraction continue, il y en aura de positifs et de négatifs, c’est-à-dire lorsqu’on prendra les valeurs approchées de tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.
75. Si, au lieu des fractions convergentes on aimait
