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mieux avoir une suite de termes décroissants, on remarquerait que

${\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {\beta \alpha '-\alpha \beta '}{\alpha '\beta '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},$

et, de même,

${\frac {\gamma }{\gamma '}}-{\frac {\beta }{\beta '}}=-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},$

et ainsi de suite ; d’où l’on tire, à cause de $\alpha '=1,$

${\begin{aligned}{\frac {\beta }{\beta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\\{\frac {\gamma }{\gamma '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\\{\frac {\delta }{\delta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}},\end{aligned}}$

et en général

${\frac {\rho }{\rho '}}=\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}}-\ldots \pm {\frac {1}{\varpi '\rho '}}.$

Ainsi l’on aura, pour la valeur de $x,$ la série

$\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots ,$

laquelle en approchera d’autant plus qu’elle sera poussée plus loin ; et si, après avoir continué cette série jusqu’à un terme quelconque $\pm {\frac {1}{\varpi '\rho '}},$ on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de $x,$ on sera assuré que l’erreur se trouvera entre ces deux limites $\mp {\frac {1}{\rho '\sigma '}}$ et $\mp {\frac {1}{\rho '\Sigma '}}$ (n^o 73), de sorte qu’elle sera nécessairement moindre que ${\frac {1}{\rho '^{2}}}.$

76. Il est à remarquer que chaque terme de la série

$\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots$