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répond à chaque terme de la fraction continue

$p+{\cfrac {1}{q+{\cfrac {1}{r+\ddots }}}},$

d’où elle dérive ; de sorte que la série dont nous parlons sera plus ou moins convergente, suivant que cette fraction le sera. Or, nous avons donné plus haut (n^o 68) le moyen de rendre une fraction continue la plus convergente qu’il est possible donc on pourra avoir aussi la suite la plus convergente qu’il soit possible.

Ainsi, pour avoir une suite qui soit la plus convergente de toutes vers le rapport de la circonférence au diamètre, on prendra la fraction continue qui exprime ce rapport, et, après l’avoir simplifiée comme nous l’avons fait (n^o 68), on la mettra sous la forme suivante

$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16+{\cfrac {1}{-294+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{-3+\ddots }}}}}}}}}},$

de sorte qu’on aura

$p=3,\quad q=7,\quad r=16,\quad s=-294,\quad \ldots \,;$

donc on trouvera (n^o 71)

$\alpha '=1,\quad \beta '=7,\quad \gamma '=7\times 16+1=113,\quad \delta '=113\times (-294)+7=-33215,$

$\varepsilon '=-33215\times 3+113=-99532,\quad \zeta '=-99532\times (-3)-33215=265381,\ldots ,$

de sorte que la série cherchée sera

$3+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{7\times 113}}-{\frac {1}{113\times 33215}}-{\frac {1}{33215\times 99532}}-{\frac {1}{99532\times 265381}}\ldots .$