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ARTICLE IV.

Où l’on propose différents moyens pour simplifier le calcul des racines par les fractions continues.

77. Nous avons trouvé en général (n^o 72) que, si ${\frac {\varpi }{\varpi '}}$ et ${\frac {\rho }{\rho '}}$ sont deux fractions consécutives convergentes vers la valeur de $x,$ on aura

$x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}\,;$

donc si l’on substitue cette expression de $x,$ dans l’équation en $x$ dont on cherche la racine, on aura une transformée en $t$ qui sera nécessairement la même que celle qu’on aurait eue par les substitutions successives de $p+{\frac {1}{y}}$ à la place de $x,$ de $q+{\frac {1}{z}}$ à la place de $y,\ldots \,;$ et pour avoir la fraction suivante ${\frac {\sigma }{\sigma '}},$ il faudra trouver la valeur entière approchée de $t,$ laquelle étant nommée $k,$ on aura

$\sigma =k\rho +\varpi ,\quad \sigma '=k\rho '+\varpi '.$

De cette manière, connaissant les deux premières fractions ${\frac {\alpha }{\alpha '}}$ et ${\frac {\beta }{\beta '}},$ qui sont toujours ${\frac {1}{0}}$ et ${\frac {p}{1}}$ (n^o 71), on pourra trouver successivement toutes les autres à l’aide de la seule équation en $x.$

78. Au reste, soit qu’on emploie les substitutions successives de $p+{\frac {1}{y}},$ à la place de $x,$ de $q+{\frac {1}{z}}$ à la place de $y,\ldots ,$ soit qu’on fasse usage de la substitution générale ${\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}$ à la place de $x,$ la difficulté se réduira toujours à trouver, dans chaque équation transformée, la valeur entière approchée de la racine positive ou négative, au-dessus de l’unité, que cette équation contiendra nécessairement (n^o 70). Or, si la première valeur approchée $p$ ne convient qu’à une seule racine, alors toutes les équations transformées en $y,$ en $z,\ldots$ n’auront chacune