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pour trouver la plus grande commune mesure, conformémentà la manière usitée de réduire les fractions ordinaires en fractions continues.

Pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté ; il faudrait faire la même opération sur les deux nombres $\lambda$ et $\Lambda ,$ et n’admettre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations ; mais la méthode précédente paraît plus commode et plus simple.

81. Voyons maintenant d’autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans les différentes équations transformées. Soit

$t^{n}-at^{n-1}+bt^{n-2}-\ldots =0$

une quelconque de ces équations, dans laquelle il s’agit de trouver la valeur entière approchée de $t,$ que nous désignerons en général par $k\,;$ cette équation, étant dérivée de l’équation proposée en $x,$ sera du même degré que celle-ci, et aura par conséquent le même nombre de racines, que nous supposons égal à $n$.

Nous avons trouvé en général (n^o 79)

$t={\frac {\varpi 'x-\varpi }{\rho -\rho 'x}},$

ce qui se réduit à

$t={\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.{\cfrac {x-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}={\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.\left({\cfrac {{\cfrac {\rho }{\rho '}}-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}-1\right)\,;$

mais

${\cfrac {\rho }{\rho '}}-{\cfrac {\varpi }{\varpi '}}=\pm {\frac {1}{\rho '\varpi '}},$

le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {\rho }{\rho '}}$ est pair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est impair ; donc on aura

$t=\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\cfrac {\varpi '}{\rho '}}.$