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Donc, si l’on dénote par $x$ la racine cherchée, et par $x',x'',\ldots$ les autres racines de l’équation en $x$ qui sont au nombre de $n,$ et qu’on dénote de même par $t,t',t'',\ldots$ les valeurs correspondantes de $t,$ on aura

${\begin{aligned}t\ \ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t'\ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t''&=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais l’équation en $t$ donne

$a=t+t'+t''+\ldots \,;$

donc, substituant les valeurs de $t',t'',\ldots$ que nous venons de trouver, et qui sont au nombre de $n-1,$ on aura

$a=t-{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'''}}+\ldots \right).$

Or nous avons trouvé (n^o 73)

${\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},$

ou bien, en faisant $\rho 't+\varpi '=\psi \rho ',$

${\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\psi \rho '^{2}}},$

où l’on remarquera que, $\rho 't+\varpi '$ étant renfermé entre les limites $\sigma '$ et $\Sigma '$ qui sont l’une et l’autre plus grandes que $\rho '$ (n^o 72), la quantité $\psi$ sera nécessairement plus grande que l’unité. Donc, faisant cette substitution dans la formule précédente, on aura

$t=a+{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\mp \left({\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+{\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x'')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+\ldots \right).$