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se trouvera la vraie valeur de $t\,;$ de sorte qu’il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée $k$ (n^o 77). Ainsi l’on pourra continuer l’approximation aussi loin qu’on voudra sans le moindre tâtonnement.

82. Puisque

$a=t+t'+t''+\ldots ,$

en substituant les valeurs de $t,t',\ldots$ (n^o 81), on aura

$a=\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots \right)-{\cfrac {n\varpi '}{\rho }}.$

Or soit

$x^{n}-\mathrm {A} x^{n-1}+\mathrm {B} x^{n-2}-\ldots =0$

l’équation proposée ; qu’on fasse le premier membre de cette équation égal à $\mathrm {X} ,$ et il est facile de voir par la théorie des équations que la quantité ${\frac {1}{\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}$ deviendra, en y mettant ${\frac {\rho }{\rho '}}$ à la place de $x,$ après la différentiation,

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+\ldots ,$

à cause que $x,x',x'',\ldots$ sont les différentes racines de l’équation $\mathrm {X} =0.$ Donc on aura

$a=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {n\varpi '}{\rho '}},$

et par conséquent la quantité

$a+{\frac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}$

deviendra

$\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\mathrm {X} }}{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}}.$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {R} ={\frac {n\rho ^{n-1}-(n-1)\mathrm {A} \rho ^{n-2}\rho '+(n-2)\mathrm {B} \rho ^{n-3}\rho '^{2}-\ldots }{\rho ^{n}-\mathrm {A} \rho ^{n-1}\rho '+\mathrm {B} \rho ^{n-2}\rho '^{2}-\ldots }},$