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la quantité dont il s’agit sera

${\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}\,;$

par conséquent les limites dont nous avons parlé dans le numéro précédent seront

${\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\pm \mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}-{\frac {1}{2}}.$

Ainsi l’on pourra trouver ces limites indépendamment de l’équation transformée en $t,$ et par le seul moyen de l’équation proposée en $x,$ ce qui pourra servir à abréger le calcul.

83. Il reste maintenant à voir comment on pourra reconnaître si la racine $t$ est renfermée entre les limites dont il s’agit ; or cela est facile dès qu’on connaît les deux nombres entiers consécutifs $\theta ,\theta +1$ entre lesquels se trouve cette racine car, soient $\lambda +{\frac {1}{2}}$ et $\lambda -{\frac {1}{2}}$ les deux limites données, il est clair que, pour que $t$ se trouve entre ces limites, il faudra que $\lambda$ tombe entre les mêmes nombres $\theta ,\theta +1,$ et même plus près de celui de ces deux nombres dont $t$ approchera davantage. On examinera donc : 1^o si $\lambda$ tombe entre $\theta$ et $\theta +1\,;$ 2^o cela étant, on prendra celui de ces deux nombres dont $\lambda$ approche davantage pour la valeur approchée de $t,$ que nous nommerons $k,$ et faisant $t=k+{\frac {1}{\scriptstyle {\mathcal {W}}}},$ on verra si l’équation transformée en $\scriptstyle {\mathcal {W}}$ a une racine positive ou négative plus grande que $2\,;$ si cette seconde condition a lieu, on sera assuré que la racine $t$ tombera réellement entre les limites $\lambda +{\frac {1}{2}}$ et $\lambda -{\frac {1}{2}},$ et l’on pourra poursuivre le calcul comme nous l’avons dit dans le n^o 81.

84. On pourrait s’y prendre encore de la manière suivante, pour s’assurer si la racine $t$ tombe entre les limites $\lambda +{\frac {1}{2}}$ et $\lambda -{\frac {1}{2}}.$ Il est facile de voir par le n^o 81 que la difficulté se réduit à savoir si la somme des quantités

${\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}},\quad {\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}},\quad \ldots ,$